AtCoder Beginner Contest竞赛题解 | 洛谷 AT_abc340_c Divide and Divide

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附上汇总帖：AtCoder Beginner Contest竞赛题解 | 汇总

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【题目来源】

洛谷：[AT_abc340_c ABC340C] Divide and Divide - 洛谷

【题目描述】

黑板上写有一个整数 $N$。
高桥君会不断重复以下一系列操作，直到黑板上所有大于等于 $2$ 的整数都消失为止。

• 从黑板上写着的所有大于等于 $2$ 的整数中任选一个，记为 $x$。
• 从黑板上擦去一个 $x$，然后在黑板上新写上两个整数 $\lfloor \frac{x}{2}\rfloor$ 和 $\lceil \frac{x}{2}\rceil$。
• 每进行一次上述操作，高桥君需要支付 $x$ 日元。

这里，$\lfloor a\rfloor$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，$\lceil a\rceil$ 表示不小于 $a$ 的最小整数。

当无法再进行操作时，高桥君支付的金额总和是多少？
另外，可以证明，无论操作顺序如何，高桥君支付的金额总和都是相同的。

【输入】

输入通过标准输入按以下格式给出。

$N$

【输出】

输出高桥君支付的金额总和。

【输入样例】

3

【输出样例】

5

【算法标签】

《洛谷 AT_abc340_c Divide and Divide》 #递推# #记忆化搜索#

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long  // 使用长整型防止溢出

int n;                  // 输入的数字
int ans;                // 最终结果（实际未使用）
map<int, int> mp;       // 记忆化存储，避免重复计算

/**
 * 递归计算将数字x分解为1的总代价
 * @param x 当前要分解的数字
 * @return 将x分解为1的总代价
 */
int dfs(int x)
{
    // 递归终止条件：当x=1时，不需要分解，代价为0
    if (x == 1)
    {
        return 0;
    }
    
    // 如果已经计算过x的结果，直接返回（记忆化搜索）
    if (mp[x] != 0)
    {
        return mp[x];
    }
    
    int curr = x;           // 当前分解的代价
    int x1 = x / 2;         // 分解为第一个部分
    int x2 = (x + 1) / 2;   // 分解为第二个部分
    
    // 总代价 = 当前分解代价 + 分解x1的代价 + 分解x2的代价
    int tot = curr + dfs(x1) + dfs(x2);
    
    // 将结果存入记忆化数组
    mp[x] = tot;
    
    return tot;
}

signed main()  // 使用signed代替int（因为定义了#define int long long）
{
    // 输入要分解的数字
    cin >> n;
    
    // 调用递归函数计算总代价
    cout << dfs(n) << endl;
    
    return 0;
}

【运行结果】

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