那些年我们遗忘的数学符号

∑:求和符号,西格玛

 

1 微积分

微分符号:dx

积分符号:

 

2 复数

复数:z=a+bi. 

共轭复数:z*=a-bi.(或者=a-bi)


3 指数和对数

指数:a^n;a的n次幂(a叫做底数,n叫做指数,结果叫幂)

对数:log(a)(b); 定义:如果a的n次幂等于b,则n=log(a)(b)。读作以a为底b的对数。其中a叫底数,b叫真数,结果叫对数。








One more thing:


1 微积分符号的含义

dx,dy系由莱布尼茨首先使用。其中的"d"源自拉丁语中“差”(Differentia)的第一个字母。

“∫”亦由莱布尼茨所创,它是拉丁语“总和”(Summa)的第一个字母s的伸长(和有相同的意义)。

 “” 为围道积分。积分符号一般直接读作积分或者Integral。


2 为什么会出现复数。为了解决实数不能解决的问题i的平方等于-1,求i?

数集从自然数,整数,有理数,发展到实数,似乎已经完善。但当一个新的问题出现时,如果x的平方等于-1,那么x是多少?于是引入了虚数单位i。


3 对数的直观理解

log(2)4=2,log(2)8=3;

就是真数b对折几次后得到1。或者说真数b除以底数a,共需要几次才能等于1。






 

<think>首先,用户的问题是:“我想理解LSTM的数学原理请问LSTM模型的数学推导和原理详解”。我需要基于系统级指令来回答。系统级指令关键点:-所有行内数学表达式必须使用$...$格式。-独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 -LaTeX语法正确。-使用中文回答。-生成相关问题。 -在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如[^1]。 -回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。-参考站内引用:引用[1]和引用[2]是关于LSTM和GRU的,但用户当前问题是关于LSTM的数学原理,所以我应该主要参考引用[1],因为它直接相关。 引用[1]的内容: -描述了LSTM模型,包括记忆cell、输入门、遗忘门、输出门。-使用期末考试周的例子解释:脑容量有限,需要遗忘无关信息。-提到LSTM缓解梯度消失的原因:门控结构(sigmoid激活函数)、细胞状态、梯度在时间序列中有效传递。用户的问题焦点是数学推导和原理详解,所以我需要详细解释LSTM的数学公式。 结构化回答:1.**介绍LSTM**:简要解释LSTM是什么,为什么需要它(解决RNN的梯度消失问题)。2.**核心组件**:解释输入门、遗忘门、输出门和细胞状态。3.**数学推导**:逐步推导每个门的公式,包括前向传播。4.**原理详解**:解释这些公式如何工作,如何缓解梯度消失。5.**例子**:结合引用[1]中的例子来使解释更直观。 6. **生成相关问题**:在结尾添加相关问题。 使用中文回答。 数学公式:-行内数学:如 $x_t$表示输入。-独立公式:如$$f_t =\sigma(W_f\cdot[h_{t-1}, x_t]+ b_f)$$单独成段。引用:在引用段落末尾添加[^1],基于引用[1]。回答结构:-开头:介绍LSTM。-主体:分步解释数学原理。-结尾:总结并生成相关问题。 确保LaTeX语法正确:使用正确的符号,如\sigmaforsigmoid, \tanhfor tanh,etc.详细步骤: 1. **LSTM概述**:-LSTM是RNN的变体,用于处理序列数据。-关键:门控机制和细胞状态,用于长期记忆。 2. **核心门控机制**:-遗忘门(ForgetGate):决定保留多少旧信息。-公式:$$f_t= \sigma(W_f \cdot [h_{t-1},x_t] +b_f)$$-解释:$h_{t-1}$是前一个隐藏状态,$x_t$是当前输入,$W_f$和 $b_f$是权重和偏置,$\sigma$是sigmoid函数,输出在0到1之间。-输入门(InputGate):决定更新多少新信息。-公式:$$i_t= \sigma(W_i \cdot [h_{t-1},x_t] +b_i)$$-候选细胞状态:$$\tilde{C}_t =\tanh(W_C \cdot [h_{t-1},x_t] +b_C)$$-细胞状态更新(CellState):-公式:$$C_t =f_t\odotC_{t-1}+ i_t \odot \tilde{C}_t$$-解释:$\odot$表示逐元素乘法,遗忘门控制旧状态保留,输入门控制新状态添加。-输出门(Output Gate):决定输出多少信息到隐藏状态。-公式:$$o_t =\sigma(W_o\cdot[h_{t-1},x_t] +b_o)$$-隐藏状态:$$h_t =o_t\odot\tanh(C_t)$$ 3. **数学推导**:-解释每个公式的来源:基于权重矩阵和激活函数。-梯度消失缓解:在反向传播中,细胞状态允许梯度直接流动,门控结构防止梯度爆炸或消失。 4. **原理详解**:-结合例子:如期末考试周,遗忘遗忘高数知识,输入门学习线代知识。-为什么有效:门控机制选择性记忆,细胞状态稳定存储信息。 5. **生成相关问题**:-基于主题,如LSTM的优化、与其他模型的比较。引用:在适当的地方添加[^1],例如在解释门控时引用例子。 最终输出格式: -回答部分。 -§§相关问题§§部分。</think>### LSTM模型的数学原理详解 LSTM(长短期记忆网络)是一种特殊的循环神经网络(RNN),专为解决传统RNN的梯度消失问题而设计。它通过门控机制(输入门、遗忘门、输出门)和细胞状态(cell state)来选择性记忆或遗忘信息,从而处理长序列数据。下面我将逐步推导LSTM的数学公式,并结合原理和例子进行详细解释。数学推导基于前向传播过程,公式使用标准的LaTeX格式:行内数学用$...$(如 $x_t$),独立公式用$$...$$并单独成段。参考了LSTM的经典解释,包括门控机制如何缓解梯度消失[^1]。 #### 1. **LSTM核心组件概述** LSTM在每个时间步 $t$ 处理输入序列时,维护以下关键变量: - $x_t$:当前时间步的输入向量。 - $h_{t-1}$:前一个时间步的隐藏状态(输出)。 - $C_{t-1}$:前一个时间步的细胞状态(长期记忆)。 - 三个门控单元:遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$、输出门 $o_t$,每个门使用sigmoid激活函数($\sigma$)输出0到1之间的值,表示“保留比例”。 - 细胞状态 $C_t$:存储长期信息,通过门控更新。 - 候选细胞状态 $\tilde{C}_t$:临时存储新信息,使用tanh激活函数。 - 隐藏状态 $h_t$:当前输出,基于细胞状态和输出门生成。 这些组件允许LSTM像“智能阀门”一样工作:例如,在期末考试周的例子中,脑容量有限时,遗忘门可遗忘高数知识($f_t$接近0),输入门可学习线代新知识($i_t$接近1),输出门控制复习内容的输出($o_t$调节)[^1]。 #### 2. **数学公式推导** LSTM的前向传播涉及多个公式。下面分步推导,每个公式独立成段。 **步骤1: 遗忘门(Forget Gate)** 遗忘门决定保留多少前一个细胞状态 $C_{t-1}$ 的信息。公式基于前一个隐藏状态 $h_{t-1}$ 和当前输入 $x_t$,通过sigmoid函数输出保留比例。 $$f_t = \sigma(W_f \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_f)$$ - $W_f$ 是权重矩阵,$b_f$ 是偏置向量。 - $[h_{t-1}, x_t]$ 表示向量拼接(concatenation)。 - $\sigma$ 是sigmoid函数:$\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$,输出值在0(完全遗忘)到1(完全保留)之间。 **步骤2: 输入门(Input Gate)和候选细胞状态** 输入门决定更新多少新信息,候选细胞状态 $\tilde{C}_t$ 生成潜在的新记忆。 - 输入门公式: $$i_t = \sigma(W_i \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_i)$$ - 候选细胞状态公式: $$\tilde{C}_t = \tanh(W_C \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_C)$$ - $W_i$ 和 $W_C$ 是权重矩阵,$b_i$ 和 $b_C$ 是偏置。 - $\tanh$ 是双曲正切函数:$\tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}$,输出值在-1到1之间,用于生成新信息(如新学的线代知识)。 **步骤3: 细胞状态更新(Cell State Update)** 细胞状态 $C_t$ 结合遗忘门和输入门的结果,更新长期记忆。公式使用逐元素乘法($\odot$)。 $$C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t$$ - $f_t \odot C_{t-1}$:遗忘门控制旧状态的保留(如遗忘高数)。 - $i_t \odot \tilde{C}_t$:输入门添加新信息(如学习线代)。 - 细胞状态 $C_t$ 是“记忆核心”,能稳定存储跨时间步的信息。 **步骤4: 输出门(Output Gate)和隐藏状态** 输出门决定多少细胞状态信息输出到隐藏状态 $h_t$。 - 输出门公式: $$o_t = \sigma(W_o \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_o)$$ - 隐藏状态公式: $$h_t = o_t \odot \tanh(C_t)$$ - $\tanh(C_t)$ 将细胞状态压缩到-1到1之间,$o_t$ 控制输出比例(如只输出与考试相关的知识)。 #### 3. **原理详解:如何工作及缓解梯度消失** - **门控机制原理**:每个门使用sigmoid函数作为“阀门”,通过权重学习何时打开或关闭。例如,在期末考试例子中,输入门 $i_t$ 聚焦考点知识,遗忘门 $f_t$ 丢弃无关信息,输出门 $o_t$ 过滤复习内容[^1]。数学上,sigmoid输出接近0或1,实现二值化选择,而tanh防止梯度饱和。 - **缓解梯度消失**:在反向传播时,梯度通过时间(BPTT)算法计算。传统RNN梯度易消失,因为连乘导致梯度指数衰减。LSTM的细胞状态 $C_t$ 提供“高速公路”:梯度可直接流过 $C_t$ 的更新路径($C_t = f_t \odot C_{t-1} + \cdots$),而门控的sigmoid导数($\sigma'(z) = \sigma(z)(1-\sigma(z))$)在0.25附近有界,防止梯度爆炸或消失。实验表明,LSTM在长序列任务中梯度更稳定[^1]。 - **整体流程**:对于输入序列,LSTM在每个 $t$ 计算门控和状态,$h_t$ 作为输出用于预测(如分类或回归)。参数($W_f, W_i, W_o, W_C, b_f$ 等)通过梯度下降优化。 #### 4. **例子说明** 参考期末考试周场景:假设 $x_t$ 是复习内容,$C_{t-1}$ 存储高数知识。当开始复习线代时: - 遗忘门 $f_t$ 接近0(遗忘高数)。 - 输入门 $i_t$ 接近1,$\tilde{C}_t$ 生成线代新知识。 - 细胞状态 $C_t$ 更新为线代记忆。 - 输出门 $o_t$ 控制 $h_t$ 输出(如只输出公式推导部分)。 这模拟了人脑选择性记忆,数学上通过门控公式实现动态调整。 #### 总结 LSTM的数学核心是门控公式和细胞状态更新,它们共同解决了序列建模中的长期依赖问题。公式推导显示,权重矩阵学习数据模式,而激活函数(sigmoid和tanh)确保非线性控制。实践中,LSTM广泛用于自然语言处理、时间序列预测等[^1]。如果您有具体应用场景,我可以进一步解释。
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