多元(多变量)积分相关符号_面积围道积分符号-优快云博客

1. 线积分(Line Integral)

1.1 记法符号

1.2 示例

2. 周线(围道)积分(Contour Integral)

2.1 记法符号

2.2 示例

3. 向量场线积分(Line Integral of Vector Field)

3.1 记法符号

3.2 示例

4. 面积分(Area Integral)

4.1 记法符号

4.2 示例

5. 曲面积分(Surface Integral)

5.1 记法符号

5.2 示例

6. 体积分(Volume Integral)

6.1 记法符号

6.2 示例

7. 示意图

1. 线积分(Line Integral)

1.1 记法符号

$\displaystyle \int_{C} f(r)ds$ ——函数 f 沿曲线 C (在参数化 r 下) 的线积分，s 表示积分变量。

1.2 示例

$\displaystyle \int_{C} f(r)ds = \int_{a}^{b}f(r(t))|r^{'}(t)|dt$ 。

2. 周线(围道)积分(Contour Integral)

2.1 记法符号

$\displaystyle \int_{C} f(z)dz$ 或 $\displaystyle \oint _{C} f(z)dz$ —— 函数 f 沿曲线 C 的周线积分。

2.2 示例

$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)dz = \int_{a}^{b}f(\gamma(t)) \gamma^{'} (t)dt$ 。

3. 向量场线积分(Line Integral of Vector Field)

3.1 记法符号

$\displaystyle \int_{C} F(\mathsf{r})\cdot d\mathsf{r}$ —— 向量场 F 沿曲线 C 的线积分。

3.2 示例

$\displaystyle \int_{C} F(\mathsf{r})\cdot d\mathsf{r}=\int_{a}^{b}F(\mathsf{r}(t))\cdot \mathsf{r}^{'}(t)dt$ 。

4. 面积分(Area Integral)

4.1 记法符号

$\displaystyle \int\int_{D} fdA$ ——函数f在域(domain) D上的面积积分。

4.2 示例

$\displaystyle \int\int_{[0,1] \times [0,1]} f(x,y)dA =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy$ 。

5. 曲面积分(Surface Integral)

5.1 记法符号

$\displaystyle \int\int_{D} f (\mathsf{r})dS$ ——函数f (在参数化r下) 在域(domain) D上的曲面面积积分。

5.2 示例

$\displaystyle \int\int_{D} f (\mathsf{r})dS = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(\mathsf{r}(s,t))\bigg\lVert \frac{\partial{r}}{\partial{s}} \frac{\partial{r}}{\partial{t}} \bigg\rVert dsdt$ 。

6. 体积分(Volume Integral)

6.1 记法符号

$\displaystyle \int\int\int_{D} f dV$ 函数f 在域(domain) D上的体积积分。

6.2 示例

$\displaystyle \int\int\int_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} 1 dV = \frac{4}{3}R^{3}$ 。

7. 示意图

---------------------------------------------------标准积分------------------------------------------------

---------------------------------------------------线积分---------------------------------------------------

----------------------------------------------------面积分-------------------------------------------------

----------------------------------------------------(向量场的)曲面积分-------------------------------------------------