【经典动态规划问题】最长上升子序列 LIS

最新推荐文章于 2025-06-17 16:18:28 发布

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本文介绍了如何解决经典动态规划问题——最长上升子序列。通过O(N^2)的动态规划方法详细阐述了状态转移方程，并提及了O(N*logN)的解决方案，该方案结合贪心策略和二分查找，有效降低了时间复杂度。在O(N*logN)的方法中，利用有序的dp数组和lower_bound函数寻找插入位置，实现了更高效的求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最长上升子序列：

O(N^2)动态规划:

O(N*logN)：贪心+二分

最长上升子序列：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。

O(N^2)动态规划:

状态：dp[i]，表示以A[i]为结尾数组的的最长上升子序列长度

初始化：A[i]的最长上升子序列最小为1,也就是左边的数都大于等于A[i],最长上升子序列只有A[i]元素本身，dp[i] = 1;

dp[i]表示以A[i]的最长子序列长度，我们现在找倒数第二个元素。

遍历A[0,...i-1]，设其中小于A[i]的元素为A[k,j,z...]，倒数第二个元素必定在A[k,j,z]中，dp[i]有几种可能：

dp[i] = dp[k]+1;

dp[i ]= dp[j]+1;

dp[i] = dp[z]+1;

取这几种可能结果中的最大值，即为dp[i]的值。

最后返回的则是dp数组中的元素最大值。

class LongestIncreasingSubsequence {
public:
    int getLIS(vector<int> A, int n) {
        // write code here
        //dp[i]为A[0...i]中的最长上升子序列的长度
        int dp[501]= {0};
        for(int i = 0;i<n;i++){