从软考题，看计算机的经典数学应用－卡特兰数

2019年上半年选择题第58题

有3个结点的二叉树有5种，可以推测出4个结点的二叉树有几种形态？

 

这是个卡塔兰数应用，把没使用节点看做0  使用了节点看做1  最后看出现的形状

定义

1.卡特兰数是一种数列，以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰命名。是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列
2.卡特兰数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……

公式

1. 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推公式
   ：
   h(n)= h(0)h(n - 1) + h(1)h(n-2) + ... + h(n - 1)h(0) (n≥2) 【1】
   例如：
   h(2)=h(0)h(1) + h(1)h(0)=1·1 + 1·1=2
   h(3)=h(0)h(2) + h(1)h(1) + h(2)h(0)=1·2 + 1·1 + 2·1=5
2. 项与项之间递推式
   h(n)=h(n - 1)(4·n - 2)/(n + 1)（n≥1） 【2】
3. 组合公式
   h(n)=C(2n,n)/(n + 1)=C(2n,n) - C(2n,n - 1)(n≥0) 【3】（其中C(2n,n)表示2n个中取n个的组合数）

注：组合数的计算

从n个不同元素中每次取出m个不同元素（0≤m≤n），不管其顺序合成一组，称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。所有这样的组合的总数称为组合数，

 或

排列组合计算方法如下：

排列A(n,m)=n×（n-1）.（n-m+1）=n!/（n-m）!(n为下标,m为上标,以下同)

组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）!；

例如：

A(4,2)=4!/2!=4*3=12

C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6

C(6,3)=6×5×4÷（3×2×1）=20。

公式理解

将递推公式【1】转化成给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树问题。
将二叉树分为左子树和右子树以及根节点，已知根节点需要1个节点数，令i（i<N）个节点构成左子树，得到N - i - 1个节点构成右子树。这时可将由i个节点的左子树递归看成由i个节点构成的树的问题，同样N-i-1个节点的右子树仍可递归看成N-i-1个节点构成的树。没使用节点看做0  使用了节点看做1  最后看出现的形状
h(i)·h(N - i - 1)即第i(0≤i≤N-1)种情形，又因为i的取值范围为[0,N-1],所以得：
h(n)= h(0)h(n - 1) + h(1)h(n-2) + ... + h(n - 1)h(0) (n≥2)【1】。
当N=3时的二叉树种类：

3个节点的二叉树

将递推公式【3】转化为01排列问题，有n对01排成一个序列，从左往右统计该序列0和1的个数，1的个数小于等于0的个数即视为合法序列。
将n个0放入2n个位置上有C(2n,n)个组合情况为全排列情形，再减去不合法序列即为卡特兰数。
例如：
001101为一合法序列
011010为不合法序列（异常位为3）
经分析得知不合法序列的异常位总会出现在奇数位。
假设异常位为2i+1(0≤i<n)，由此可知[0,2i+1]序列有i个0，i+1个1，在[2i+1,2n]序列有n-i个0，n-i-1个1，将[2i+1,2n]序列中的1置换为0,0置换为1，如（011010==>011101）由此可知2n的序列中有n-1个0，n+1个1，将n-1个0放入2n个位置上则有C(2n,n-1)个组合情况，该排列即为不合法情形。
所以可得：h(n)=C(2n,n)/(n + 1)=C(2n,n) - C(2n,n - 1)(n≥0) 【3】