30、受限资源计算中的小型通用设备

受限资源计算中的小型通用设备

1. 引言

通用性的概念最早由图灵提出，他构建了一台通用图灵机，能够模拟任何其他图灵机的计算。通用图灵机以要模拟的机器的描述和其输入带的内容作为输入，并计算该机器在给定输入上的执行结果。

更一般地，对于一类计算设备（或函数）C，通用性问题在于找到C中的一个固定元素M，它能够使用适当的固定编码来模拟C中任何元素M′的计算。如果M′在输入x上计算得到y（记为M′(x) = y），那么M′(x) = f(M(g(M′), h(x)))，其中h和f分别是编码和解码函数，g是从C的某个固定枚举中获取M′编号的函数。这些函数不应过于复杂，否则通用机器将变得平凡。通常认为（一般）递归函数可用于编码和解码。

需要强调计算完备性和通用性之间的重要区别。对于一类可计算性模型C，如果C中的设备能够刻画图灵机（或任何其他等效设备类型）的能力，则称C是计算完备的。这意味着给定一台图灵机M，可以在C中找到一个元素C，使得C与M等效。因此，完备性指的是覆盖计算能力水平的能力（用语法术语来说，就是生成所有递归可枚举语言）。通用性是C的一个内部属性，它意味着存在C中的一个固定元素M，在给定E和输入的适当编码的情况下，它能够模拟C中任何给定元素E的计算。如果C没有通用元素，那么存在一个包含C的族C′，其中包含一个对C通用的元素M。需要注意的是，C′不一定对递归可枚举语言（RE）通用。这些概念是针对经典计算模型而言的，当存在额外特性（如量子计算）时，通用性和完备性的概念会完全不同。

1956年，香农考虑了寻找最小可能的通用图灵机的问题，其中大小是根据状态和符号的数量来计算的。在60年代初，明斯基和渡边展开了一场竞赛，看谁能找到最小的通用图灵机。后来，罗戈津展示了几种小型通用图