23、布尔矩阵乘法的量子复杂度与分布式量子计算在Grover搜索算法中的应用

布尔矩阵乘法的量子复杂度与分布式量子计算在Grover搜索算法中的应用

布尔矩阵乘法的量子复杂度

在布尔矩阵乘法领域，一直以来都在寻求更高效的算法。通过“四个俄罗斯人的方法”预处理数据，能够轻松构建出时间复杂度为$O(n^3 / \log n)$的算法。近期，Bansal和Williams结合该思想与Szemerédi正则引理的算法版本，构建了时间复杂度为$O(n^3 / (\log n)^{2.25})$的算法。然而，核心的开放性问题仍然是构建真正的亚立方组合算法，即复杂度为$O(n^{3 - \delta})$（其中$\delta > 0$为常数）的算法。

在量子环境下，计算两个$n×n$布尔矩阵布尔积的一个元素可以在$\tilde{O}(\sqrt{n})$时间内完成，这意味着输出矩阵的$n^2$个元素可以在$\tilde{O}(n^{2.5})$时间内计算完成，并且该算法仅依赖量子搜索，可视为“组合式”算法。由此引出一个自然的量子开放性问题：是否存在基于搜索的量子算法（或其他量子技术，如量子行走，但不依赖于环上矩阵乘法的归约），其复杂度为$O(n^{2.5 - \delta})$（其中$\delta > 0$为常数）？定理2为解决此问题提供了一个自然的途径：尝试找到时间复杂度为$O(n^{3/2 - \delta})$（其中$\delta > 0$为常数）的“组合式”量子三角形查找算法。这仍是一个开放性问题，即使不考虑量子算法的性质。

快速量子矩阵乘法算法

• 矩形布尔矩阵乘法 ：矩形布尔矩阵乘法是展示量子算法在矩阵相关问题上强大能力的基础且重要的例子。通过应用量子搜索，存在一个量子