20、经典与量子自动机上承诺问题的复杂性

经典与量子自动机上承诺问题的复杂性

1. 预备知识

1.1 算术与线性代数

• 自然数集用 (N) 表示，整数集用 (Z) 表示。(a_1, \cdots, a_s \in Z) 的最大公约数表示为 (gcd(a_1, \cdots, a_s))，最小公倍数表示为 (lcm(a_1, \cdots, a_s))。对于 (a, b \in N)，(a | b) 表示 (a) 整除 (b)，(a \nmid b) 表示 (a) 不能整除 (b)。对于 (N > 0)，(a \equiv b \mod N) 意味着 (a \mod N = b \mod N)。
• 任何大于 1 的整数 (z) 都可以唯一地表示为 (z = \prod_{i = 1}^{s} z_{i}^{k_{i}})，其中 (z_1 < \cdots < z_s) 是质数，(k_1, \cdots, k_s) 是正整数，这就是 (z) 的质因数分解。
• 线性丢番图方程 (a_1x_1 + \cdots + a_sx_s = z)（(x_1, \cdots, x_s \in Z)）有自然数解当且仅当 (gcd(a_1, \cdots, a_s) | z)。

在线性代数方面：
- 实数域用 (R) 表示，复数域用 (C) 表示。对于复数 (z = a + ib)，其共轭为 (z^ = a - ib)，模为 (|z| = \sqrt{zz^ })。
- (C^{n\times m}) 表示 (n\times m) 复矩阵集合，(C^n) 表示 (n) 维复行向量集合。单位矩阵用 (I) 表示，