26、交替码的简化高速长距离列表译码

交替码的简化高速长距离列表译码

1. 译码算法概述

在译码领域，存在多种算法用于纠错。Guruswami - Sudan 算法是一种有效的译码算法，但之前未意识到它缺少 Howgrave - Graham 简化。Koetter 和 Vardy 则在 Guruswami - Sudan 结果上进行了定量改进，从大域 Johnson 界推进到了 $F_q$ Johnson 界。

Cohn 和 Heninger 提出了 Howgrave - Graham 算法的显式函数域版本，将其从有理函数域 $F_{qm}(x)$ 推广到任意函数域，涵盖了代数几何码的列表译码。不过，该推广仍未覆盖 Koetter - Vardy 的结果。

2. 纠正接近 $n’ - \sqrt{n’(n’ - t - 1)}$ 个错误的算法

• 参数 ：该算法有四个参数，分别为正整数 $w \leq n$（待纠正的错误数）、整数 $j \geq 0$、整数 $k \geq j$ 以及整数 $\ell \geq (q - 1)j + k$。算法假设 $t + 1 \leq n$，且这些参数需满足不等式：
  $\frac{nk(k + 1)}{2} + \frac{n(q - 1)j(j + 1)}{2} + \frac{(n - t - 1)\ell(\ell - 1)}{2} < \ell(k(n - w) + jw)$
  即 $(1 - \frac{t + 1}{n})(1 - \frac{1}{\ell}) < (1 - \frac{w}{n})^2 + \frac{(w/n)^2}{q - 1} - (1 -