6、电磁学中的波散射、模拟与衍射

电磁学中的波散射、模拟与衍射

1. 线性均匀各向同性（LHI）介质的色散关系

在给定波的频率 $\omega$ 和介质的电磁特性时，波矢量 $\vec{k}$ 的选择是有限的。波矢量必须遵循的规则被称为色散关系。它是通过将平面波的表达式代入波动方程并化简得到的：
[k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2 \quad (2.86)]
波数 $k$ 可以通过两种不同的方式展开，如下式 (2.87) 的右侧所示：
[k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (k_0n)^2 = \left(\frac{\omega n}{c_0}\right)^2 \quad (2.87)]
式 (2.87) 是 LHI 介质的色散关系。它表明，在 LHI 介质中，波矢量的大小与波的传播方向无关，是一个常数。在有限差分频域法（FDFD）中，当已知其他波矢量分量时，可利用色散关系计算缺失的波矢量分量。

2. 界面处的散射

当波从一种介质传播到另一种介质时，了解会发生什么是很有用的。这不仅有助于理解 FDFD，还提供了测试 FDFD 是否正确工作的方法。假设两种介质之间的界面是完全平坦且无限延伸的。

2.1 波矢量表示

设 $\vec{k} {inc}$ 为入射波的波矢量，$\vec{k} {ref}$ 为反射波的波矢量，$\vec{k} {trn}$ 为透射波的波矢量。给定角度 $\theta_1$、$\theta_2$ 和 $\phi$，图中的波矢量可表示为：
[\vec{k} {inc} = k_0n_1 (\sin\theta_1 \c