13、单项式比较复杂度与Buchberger - Möller算法的两项改进

单项式比较复杂度与Buchberger - Möller算法的两项改进

1. 引言

点的消失理想在众多数学领域中备受关注，它在编码理论、插值问题甚至统计学中都有应用。近期，仿射点集的消失理想在分子生物学中也得到了研究。Buchberger - Möller算法被提出用于处理点的消失理想的计算。在对该算法进行复杂度研究时，需要考虑基域上的算术运算和单项式操作。据报道，算术运算的数量与 $nm^3$ 成正比（其中 $n$ 表示变量的数量，$m$ 表示点的数量），单项式操作所需的整数比较数量与 $n^2m^2$ 成正比。在生物学应用中，点的系数取值于有限域 $\mathbb{Z}_p$，且通常有 $m \ll n$。因此，人们开始寻找针对这种情况进行优化的算法。

本文首先深入研究单项式比较的复杂度，将分析限制在由具有 $\mathbb{Z}$ 系数的可逆矩阵定义的 $n$ 个不定元的可允许单项式序上。这些序将每个单项式与一个 $n$ 维整数向量相关联，使得比较两个单项式等同于按字典序比较这两个 $n$ 维向量。尽管这是对可允许单项式序集合的一种限制，但此前的复杂度研究仅针对更小的可允许序集合，如字典序（lex）、度字典序（deglex）和度逆字典序（degrevlex）。

为了给出单项式操作的复杂度界限，我们研究了按字典序排序的 $n$ 维向量的比较算法，并给出了一种快速合并此类向量排序列表的算法。有序多项式的求和就是使用合并算法的一个例子，因此，我们的合并算法可以加快在计算由生成元给出的理想的 Gröbner 基时 S - 多项式的计算速度。

接下来，我们关注 Buchberger - Möller 算法。我们发现，该算法中算术运算数量的上界可以优化为 $O(nm^2 +