10、高效量子算法：Weyl - Heisenberg 群中的隐藏子群问题求解

高效量子算法：Weyl - Heisenberg 群中的隐藏子群问题求解

1. 引言

在量子计算领域，解决隐藏子群问题（HSP）是一个重要的研究方向。本文聚焦于 Weyl - Heisenberg 群中的 HSP，将介绍相关的群论基础、Fourier 采样方法以及表示理论，最终给出高效的量子算法。

2. Weyl - Heisenberg 群

2.1 基本群论概念回顾

• 群的中心 ：对于群 $G$，其中心 $Z(G)$ 定义为与群中每个元素都可交换的元素集合，即 $Z(G) = {c : [c, g] = cgc^{-1}g^{-1} = e \text{ 对于所有 } g \in G}$，其中 $e$ 是群 $G$ 的单位元。
• 导子群 ：导子群 $G’$ 由形如 $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$ 的元素生成，其中 $a, b \in G$。
• 半直积 ：群 $G$ 可以表示为半直积 $G = N ⋊ H$。

2.2 Weyl - Heisenberg 群的定义

设 $p$ 为素数，$n$ 为整数。Weyl - Heisenberg 群的阶为 $p^{2n + 1}$，定义为半直积 $Z_{p}^{n + 1} ⋊ {\varphi} Z {p}^{n}$，其中作用 $\varphi$ 定义在 $x = (x_1, \ldots, x_n) \in Z_{p}^{n}$ 上，是一个 $(