3、三维列联表条目的边界研究

三维列联表条目的边界研究

在统计数据安全领域，确定多维列联表中条目在固定边际总量下的精确整数边界是一个重要问题。本文将探讨三维整数平面运输问题（3 - DIPTP），分析不同的边界计算方法及其局限性。

1. 引言

自 20 世纪 50 年代以来，确定三维平面运输问题（3 - DPTP）可行解存在的充分条件一直是运筹学中的研究热点。但以往的尝试仅给出了可行性的必要条件，而非充分条件。本文聚焦于 3 - DIPTP，即受整数约束的 3 - DPTP，旨在研究可行性在确定内部条目精确整数上下边界中的作用。

可行性问题涉及在满足一致性和二维边际总量整数条件下，寻找线性规划的整数解。而边界问题则是确定满足特定条件的列联表中每个条目的整数上下边界。这一问题在统计数据保护中至关重要，因为国家统计办公室（NSO）为防止机密数据泄露，可能仅发布二维边际总量，此时需要评估第三方利用这些边际总量估算被抑制内部条目的精确程度。

2. F - 边界

对于二维表，给定一致的列和行边际总量，条目的名义上界等于对应边际总量，名义下界为零。通过步进石算法可轻松获得二维表的精确边界。具体步骤如下：
1. 将条目设置为其名义上界，并从列、行和总计中减去该值。
2. 若列或行总计变为零，则将对应列或行的所有条目设为零，并从表中删除该列或行。
3. 从剩余表中任意选择一个条目，重复上述步骤，直至得到完全指定的一致二维表。

二维表的精确边界公式为：
[
\begin{cases}
\text{下界} = \max(0, \text{相关二维表中计算的下界}) \
\text{上界} = \t