算法导论笔记（1）

#习题2.3-7 给定整数数组S和目标值x，是否存在S中的两个元素之和为x，要求时间复杂度为O(n*log n)。

解：对S中的每个元素a，二分查找 x - a。

#习题2-4 计算数组中的逆序对，时间复杂度O(n*log n)。 提示：归并排序。另外如果只允许交换相邻元素，通过最少的交换次数将数组排序，答案是选择排序或插入排序，因为一次交换最多消除一个逆序对，而选择排序和插入排序每次必然消灭一个逆序对。

#例4.1 股票买卖问题：知道n天的股价，选择某一天买入及此后的某天卖出，要求获益最大。

解：计算每一天与前一天的差价，转化为最大字数组和问题。

#习题4.1-5 线性时间求最大字数组

解：令max[j]为以A[j]结尾的最大字数组和，max[j+1]=max(0, max[j]+A[j+1], A[j+1])

#习题4.2-7 三次相乘计算复数乘法

解： (a+bi)(c+di) 令 x=(a-b)(c+d)  y=ad  z=bc 则实部为x-y+z，虚部为y+z

#习题5.3-5 从n^3个数字中进行放回抽样，共抽n次，证明n次抽到的数字全不相同的概率至少为 1- 1/n

证明：定义事件Xi为第i次抽到的数字以前抽到过，则P(Xi) <= (i-1)/n^3，故至少有两次相同的概率 <= P(X2)+P(X3)+...+P(Xn) < 1/n^3 + 2/n^3 + ... + (n-1)/n^3 < 1/n

#习题5.3-7 从n个数中随机取m个，证明如下方法是无偏的

证明：用数学归纳法，证明任意组合发生的概率为1/C(n,m)。首先第5行为真的概率为(m-1)/n。对于组合(a1, a2, ..., am)，分两种情况讨论。若am=n则 i=n或者第5行为真，故am=n的概率为1/n + (m-1)/n = m/n，而在第4行(a1, a2, ..., a_(m-1))发生的概率为1/C(n-1, m-1)，故(a1, a2, ..., am)的概率为 (m/n) * 1/C(n-1, m-1)  = C(n, m)。若am != n，设最后取到的数是i，则第4行的概率为1/n，故取到(a1, .., am)且最后一次是i的概率为 1/n * 1/C(n-1, m-1)，由于i可能是(a1, ..., am)中的任一个，故总概率为 m * 1/n * 1/C(n-1, m-1) = 1/C(n, m)。

#堆排序：从后向前建堆时间复杂度为O(n)，从前向后建堆为O(n log(n))

#二叉堆的叶子节点为ceiling(n/2)

证明：令d=叶子数量 - 内节点数量，则每增加一个左节点，叶子不变，内节点+1，故d减1；每增加一个右节点，d加1。从根节点开始(d=1)，就是一个 -1+1-1+1...的序列，d永远是0或1

#习题8.2-3 计数排序最后一步为什么要从后向前遍历？答：为了保证排序的稳定性。

#习题8-2 线性时间原地排序
假设有一个有n个数据记录组成的数组要排序，且每个记录的关键字的值为0或1。排序这样一组记录的一个算法应具备如下三个特性中的一部分。
1）算法的运行时间为O(n)。
2）算法是稳定的。
3）算法是原地排序的，它可以使用除输入数组以外的固定量的存储空间。

a）给出一个满足上述条件1和条件2的算法。(计数排序)
b）给出一个满足上述条件1和条件3的算法。(使用快速排序中的partition步)
c）给出一个满足上述条件2和条件3的算法。(插入排序)

e）假设一个n个记录中每个的关键字都介于1到k之间。说明如何修改计数排序，使得可以在O(n+k)时间内对n个记录原地排序。除输入数组外，可另用O(k)的存储空间。你给出算法是稳定的吗？（提示：当k=3时应该如何做）

解：在计数排序的最后一步，从前向后遍历（从后向前也可），将元素与该元素应该在的位置上的元素交换。不稳定。

static void countingSortInPlace(int[] a, int k) {
    int[] endidx = new int[k];
    for(int x : a) {
        endidx[x]++;
    }
    endidx[0] -=  1;
    for(int i=1; i<endidx.length; i++) {
        endidx[i] += endidx[i-1]; 
    }
    //endidx[x]为x的插入位置
    int i = 0;
    while(i < a.length) {
        int x = a[i];
        if(i >= endidx[x]) {
            i++; //x已全部归位
        } else {
            swap(a, i, endidx[x]);
            endidx[x] -= 1;
        }
    }
}