数据结构 --- 平衡二叉树

定义及原理

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。 最小平衡二叉树的节点总数的公式如下 ：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci(斐波那契)数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

为何需要平衡二叉树

一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），在某些极端的情况下（eg：插入的序列是有序的），将退化成近似链表，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作（insert、delete）之后，就会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。而平衡二叉树在每次操作（insert、delete）之后，都会进行自平衡（通过旋转算法实现），这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是平衡二叉树的频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的（需要反向查询以确定采用何种旋转算法），不过相对二叉搜索树来说，其查找的时间复杂度稳定了很多。

旋转问题

对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此首次出现高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差的绝对值等于2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

1. 节点6的左子树节点3的高度与右子树节点7的高度之差大于1，左子树节点3的左子树节点1的高度大于右子树节点4，这种情况为左左。

2. 节点6的左子树节点2的高度与右子树节点7的高度之差大于1，左子树节点2的左子树节点1的高度小于右子树节点4，这种情况为左右。

3. 节点2的左子树节点1的高度与右子树节点5的高度之差小于-1，右子树节点5的左子树节点3的高度大于右子树节点6，这种情况为右左。

4. 节点2的左子树节点1的高度与右子树节点4的高度之差小于-1，右子树节点4的左子树节点3的高度小于右子树节点6，这种情况为右右。

从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

旋转算法

1. 单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。下图是左左情况的解决方案，节点a不满足平衡特性，因为它的左子树b比右子树f深2层，而且b子树中，更深的一层的是c的左子树d子树，所以属于左左情况。
   
   为使树恢复平衡，我们把节点b变成这棵树的根节点，因为节点a的值大于节点b的值，把节点a置于节点b的右子树上，而原本节点b的右子树e的值小于节点a的值，就把节点e置于节点a的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。由于左左和右右是对称的，因此在此不做赘述。

2. 双旋转是针对于左右和右左这两种情况的解决方案，这两种情况也是对称的，因此只要解决了左右这种情况，右左就很好解决了。下图是左右情况的解决方案，节点a不满足平衡特性，因为它的左子树b比右子树f深2层，而且b子树中，更深的一层的是b的右子树e子树，所以属于左右情况。
   
   为使树恢复平衡，第一步，我们需要把左右情况变成单旋转的左左情况，把节点e向左旋转，因为节点b的值小于节点e的值，把节点b置于节点e的左子树上，而原本节点e的右子树f的值大于于节点b的值，就把节点f置于节点b的右子树上，这样就变成了左左的情况；第二步，根据左左情况如上面的步骤进行右旋，使其满足了平衡二叉树的性质。由于左右和右左是对称的，因此在此不做赘述

相关代码

public final class BalanceBinaryTree<T extends Comparable> {

    private BalanceBinaryTreeNode<T> root