(数据结构)树(二)平衡二叉树

最新推荐文章于 2023-02-21 15:43:43 发布

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#平衡树 #红黑树 #AVL树

本文详细介绍了平衡二叉搜索树的两种常见类型——AVL树和红黑树。AVL树是最早提出的自平衡二叉查找树，要求任何节点的两个子树高度差不超过1，从而保证操作效率为O(logn)。红黑树是一种自平衡二叉查找树，其插入、删除和查找操作在最坏情况下也是O(logn)。文章探讨了AVL树的自平衡操作——单旋转和双旋转，以及红黑树的性质和自平衡策略，包括插入和删除操作的处理方式。

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我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为 $log_{2}n$ ，其各操作的时间复杂度O( $log_{2}n$ )同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。于是就有了我们下边介绍的平衡二叉树。

平衡二叉树定义：平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O( $log_{2}n$ )，大大降低了操作的时间复杂度。

最小二叉平衡树的节点的公式如下：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

AVL树

AVL树定义：AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他们在 1962 年的论文 “An algorithm for the organization of information” 中发表了它。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44 $log_{2}n$ 。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。这个方案很好的解决了二叉查找树退