数论基础小结

1. [a mod n] +,-,×,÷[b mod n] = [(a +,-,×,÷ b) mod n]

2. 裴蜀定理： “ax + by = c 有整数解（x , y）”等价于 “gcd(a , b) | c”

       证明： 必要性

                            显然gcd(a,b) | ax + by   对所有 x,y∈Z 都成立。

                  充分性

                           先说明一条引理：ax + by = gcd(a,b) 有整数解；

                           这里设d=gcd(a,b),s 是a,b的线性组合中最小正整数

                           即： ,s显然是存在的

                           可设

                           则

                           即 r 也是a,b的线性组合，又s是线性组合中的最小正整数

                           故有r=0,即s | a。同理有s | b，s | gcd(a,b)=d

                           又由必要性可知 d | s，故有d=s，即

                           引理得证！对于任意的c 满足 d | c，有

3. 费马小定理：

            若p是质数，且gcd（a,p）=1 。则有;

            若p是质数。则对于任意正整数a，有

4. 欧拉函数与欧拉定理：

       欧拉函数：  : 小于n且与n互素的正整数个数。

              显然对于任意素数p，有;对任意可以表示为两素数之积的整数n， 

        欧拉定理：若gcd(a,n) =1，则有： 

                                   或者：                   

          证明欧拉定理：

                 证： 设是以n为模的一个简系；

                      则由于gcd(a,n)=1,也是一个以n为模的简系。

                     

                     得证。

5. 中国剩余定理： 已知 互质,求x满足

                                                            

则有：  是最小的正整数解。注意这里前提条件互质必不可少！

其中；是模的乘法逆元。

证明： 取

              则有gcd()=1,取

              则有对所有的

              故取

              则'是方程的一个解，但不是最小正整数解。

注：求乘法逆元的三种方法：

1. 根据费马小定理，若p是质数，且gcd(a,p) = 1,则，即有, 所以
2. 扩展欧几里得算法：若求,则有 ,写成。

          这里有 gcd(a, b) == gcd(b, a mod b) 假设

        则有     这里//是整除意思，即得到a除以b的商。

        可得到

        递推可得 ，回代得x,修正保证为正数

   3. 线性求逆元

        已知gcd(i, p) = 1，i<p, 求i模p的乘法逆元：

       显然有： 且

       则可以写成：

       两边同乘, 可得：

       即： 

       写成程序语言即为:

 

 

PS:一种逆元的使用例子：

若gcd(b, M)=1,则有

这里假设M是质数，由费马小定理可得

故有：

M是非质数时也是一样