java数据结构与算法刷题-----LeetCode222. 完全二叉树的节点个数

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1. `法一：利用完全二叉树性质，进行递归二分查找`

解题思路：时间复杂度O（ $log_2{n}$ ）,空间复杂度O(n),因为递归底层需要栈来实现

完全二叉树：除去最后一层，剩下的是满二叉树。其中满二叉树也是完全二叉树的一种。

完全二叉树最后一层的叶子结点，必须是连续的
最后一层如果不满，假设最后一层只有一个叶子结点，也一定是左结点。因为它必须连续。所以，缺也不会缺左结点

满二叉树的结点个数为： $2^{高度}-1$ ,例如一个满二叉树高的为5，那么一共有 $2^5-1 = 31$ 个结点
所以，我们依次从根节点开始遍历

如果当前结点代表着一棵满二叉树（完全二叉树前提下，左子树高的 = 右子树高度），那么代表左子树一定是满的。而右子树未必是满的，因为只是高度一样，完全二叉树只能保证，缺也不会缺左结点。而现在有右节点，说明左节点不缺
因此左子树高的 = 右子树高度，可以直接跳过左子树，用公式 $2^{左子树高度}-1$ 计算左子树的结点个数，然后算上当前根节点+1，最终为 $2^{左子树高度}$ 个结点
但是如果左子树高的！= 右子树高度，说明最后一层不满，但是除去最后一层，其余的一定为满二叉树，所以右子树一定是满二叉树，只不过比左子树高的少1而已
因此左子树高的！= 右子树高度时：右子树的结点个数+当前结点 = $2^{右子树高度}$

代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */

class Solution {
    /**
        left == right。表示左右子树深度相同，又因为是完全二叉树，因为节点已经填充到右子树了
        所以左子树一定是满二叉树，所以左子树的节点总数是 2^left - 1，加上当前这个 root 节点，则正好是 2^left（2的left次方）。
        然后只需要再对右子树进行递归统计即可。
        left != right。表示左右子树深度并不一致，因为是完全二叉树，必然是左深右浅
        而且最后一层是不满的，倒数第二层必然是满的，而左深右浅，说明右子树是满二叉树，它的深度比左子树少1。为2^right
        那么也同样进行，右子树节点 + root 节点，总数为 2^right。再对左子树进行递归查找。
        
        其中2的多少多少次方，可以写为 1 << 多少多少。例如 1 << left等价于2^left(2的left次方)
     */
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if(root == null) return 0;//如果是空树直接返回0
        int left = countLevel(root.left);//获取左子树的深度
        int right = countLevel(root.right);//获取右子树的深度
        //如果左子树深度和右子树一致，就说明root的子树是满二叉树
        if(left == right)//如果是满二叉树，它的最后一个叶子结点一定在最右边侧
            return countNodes(root.right) + (1 << left);//所以疯狂递归统计右边结点，另外不要忘记加上左子树的结点
        else//如果不是满二叉树，那么对完全二叉树来说，它的最后一个叶子结点一定在左侧
            return countNodes(root.left) + (1 << right);//所以疯狂遍历左边，另外不要忘记加上右子树结点
    }
    //统计root结点的深度
    private int countLevel(TreeNode root){
        int level = 0;
        //只统计左子树，因为是完全二叉树的原因，无论是否为满二叉树，哪怕是它的最后一层只有一个叶子结点
        //也一定落在左侧。
        while(root != null){
            level++;
            root = root.left;//每向下走一次，level + 1 一下
        }
        return level;
    }
}

2. `二分查找+位运算`

解题思路：时间复杂度O（ $log_2{n}$ ）,空间复杂度O(1)

先统计深度
那么倒数第二层必然是满二叉树。
最后一层不确定有多少个
我们对其进行二分查找。看看最后一个叶子结点，在最后一层哪个位置
最后将倒数第二层的满二叉树+最后一层的结点个数 = 整个数的结点个数

代码

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {//如果root为null直接返回
            return 0;
        }
        int level = 0;//保存高度（深度）
        TreeNode node = root;//获取当前结点
        while (node.left != null) {//如果左节点存在
            level++;//统计深度
            node = node.left;
        }
        //low表示左后一层最左边的结点。
        //因为我们从0开始统计的level，所以1 << level -1（2^level-1）正好是倒数第二层的满二叉树结点
        //high 表示 如果是满二叉树，它为最后一个结点
        //我们在这个范围进行二分查找
        int low = 1 << level, high = (1 << (level + 1)) - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low + 1) / 2 + low;//获取中间结点的位置
            if (exists(root, level, mid)) {
                low = mid;
            } else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return low;
    }

    public boolean exists(TreeNode root, int level, int k) {
        int bits = 1 << (level - 1);//bits指向倒数第二层
        TreeNode node = root;
        while (node != null && bits > 0) {
            if ((bits & k) == 0) {
                node = node.left;
            } else {
                node = node.right;
            }
            bits >>= 1;
        }
        return node != null;
    }
}