3、量子计算与后量子密码学：现状与挑战

量子计算与后量子密码学：现状与挑战

1. 整数分解算法

当需要对一个 m 位的整数 N 进行分解时，有以下几种算法：
- 基础算法 ：遍历所有小于等于 √N 的质数 p，检查 p 是否能整除 N，最大运行时间为 (e^{O(m)})。
- 二次筛法 ：尝试找到整数 a 和 b，使得 (a^2 - b^2) 是 N 的倍数。找到 a 和 b 后，通过计算 (a ± b) 来检查与 N 的公因子，运行时间为 (e^{O(m^{1/2})})。
- 通用数域筛法（GNFS） ：目前最先进的算法，在处理大数字时非常成功，运行时间为 (e^{O(m^{1/3})})。

从这三种算法可以看出，随着数字增大，经典算法分解大的半质数所需的时间呈指数增长，超出了多项式时间的范围。

2. 分解方法

对于大的半质数多项式的分解，可以采用简化的方法，结合欧几里得定理中的最大公因数（GCF）概念和欧拉定理的周期查找来找到给定数字 N 的两个非平凡质因数。
- 周期的定义 ：给定互质的数字 N 和 a，使得 (a^r - 1) 是 N 的倍数的最小正整数 r 称为 a 模 N 的周期，a/N 的余数称为 a 模 N 的值，记为 a (mod N)。
- 计算 GCF ：可以使用欧几里得、莱默或二进制 GCD 算法来计算 GCF。
- 具体步骤 ：
1. 由于不知道 N 的两个质因数 (p_1