12、图的基本概念及其应用

图的基本概念及其应用

1. 引言

图（Graph）是一种广泛应用于现实世界中的数学结构，它能够有效地表示对象之间的关系。无论是城市间的航班路线、连接各个城镇的道路，还是日常生活中的任务序列，图都能提供一种简洁而直观的模型。本文将深入探讨图的基本概念、表示方法及其在解决实际问题中的应用。

2. 图的定义

图由顶点（Vertices）和边（Edges）组成，通常表示为 ( G = (V, E) )，其中 ( V ) 是顶点的有限集合，( E ) 是边的有限集合。每条边可以是无向的或有向的，具体取决于所表示的关系类型。

2.1 无向图与有向图

• 无向图 ：如果图中的边没有方向，则称其为无向图。例如，两个城市之间的道路可以是双向通行的。
• 有向图 ：如果图中的边有明确的方向，则称其为有向图。例如，航班路线通常是单向的。

2.2 权重与路径

• 权重 ：边可以带有权重，表示从一个顶点到另一个顶点的成本或距离。例如，城市间的航班票价或道路长度。
• 路径 ：路径是从一个顶点到另一个顶点的边的序列。路径的长度是路径上所有边的权重之和。

3. 图的表示方法

图可以通过多种方式进行表示，常见的两种表示方法是邻接矩阵和邻接表。

3.1 邻接矩阵

邻接矩阵是一个二维数组，其中 ( A[