10、计算与编码理论的深度剖析

计算与编码理论的深度剖析

1. 图灵机与可计算性

在计算理论中，存在一些计算问题是任何图灵机都无法解决的，这是图灵的重要成果。以机器 (Z) 为例，它具有特殊性质：若 (E) 输出“是”，则 (Z) 不停止；若 (E) 输出“否”，则 (Z) 输出“否”并停止。当给 (Z) 输入 (dT) 时，若 (T) 作用于 (dT) 不停止，那么 (Z) 停止；反之，若 (T) 作用于 (dT) 停止，那么 (Z) 不停止。通过将 (Z) 代入相关论证，会得出“(Z) 作用于 (dz) 停止当且仅当 (Z) 作用于 (dz) 不停止”的矛盾结论，这表明假设存在的 (D) 是错误的，进而说明存在像判定通用图灵机是否停止这样的计算问题无法由图灵机解决。

可计算性还涉及可计算实数和不可数性的概念。可计算实数是指其二进制展开能在磁带上打印出来的实数，无论机器是否停止。可计算实数是可数的，而实数是不可数的。可数集是指其元素能与正整数集的元素建立一一对应的集合，例如偶数集和有理数集。证明实数不可数可以采用反证法。假设实数可数，那么能将实数与整数以某种方式配对。但通过构造一个新的实数，使其第 (n) 位与配对列表中第 (n) 个数的第 (n) 位不同，就可以发现这个新实数不在列表中，从而证明实数不可数。而图灵机是可数的，因为可以用二进制符号来唯一标记图灵机。

有效程序在实际应用中存在局限性。虽然有效程序通常被描绘为能计算事物的算法，但很多有效程序的实际用途不大，可能需要大量磁带或其他资源。在实践中，我们更需要既有效又高效的程序，但“高效”很难精确定义。在人工智能领域，像人脸识别等问题涉及的有效程序往往效率不高，甚至效果不佳。有时我们并不严格需要有效程序，例如在某些情况下，给出一个具有一定正确性概率的答案