23、格中最短向量问题与三维格约化算法解析

格中最短向量问题与三维格约化算法解析

1. 三维格约化算法理论

在三维格约化算法中，有几个重要的定理和推论。
- 定理 2 ：设 $b_1, b_2, b_3 \in Z^n$（$n \geq 3$）是线性无关向量，且满足 $|b_1| \leq |b_2| \leq |b_3|$。算法 3 能在 $O(\log \frac{|b_3|}{|b_1’|} + 1)$ 步内找到一个约化基 $b_1’, b_2’, b_3’$，或者满足 $|b_1’| \leq |b_2’| \leq |b_3’| \leq |b_1|$ 且 $2|b_3’|^2 \leq |b_3|^2$ 的基。此计算需要 $O((\log \frac{|b_3|}{|b_1’|} + 1)\log |b_3|)$ 次二进制运算。
- 推论 1 ：设 $b_1, b_2, b_3 \in Z^n$（$n \geq 3$），满足 $|b_1| \leq |b_2| \leq |b_3|$，是某个三维格的基，$a$ 是该格中的最短非零向量。则算法 3 能在 $O((\log \frac{|b_3|}{|a|} + 1)\log |b_3|)$ 次二进制运算内找到一个约化基。

为了证明定理 2，先证明了一个辅助命题：
- 定理 3 ：设 $b_1, b_2, b_3$ 是 $R^n$（$n \geq 3$）中的线性无关向量，满足 $|b_1| \leq |b_2| \leq |b_3|$，$0 \leq 2(b_1, b_2) \leq |b_1|^2$，$|(b_1, b_3)| < |b