25、整环上的多序列合成算法研究

整环上的多序列合成算法研究

1. 多序列合成问题的基础引理

在多序列合成问题中，有一个重要的引理。设 (a^{(1)}(x), a^{(2)}(x), \cdots, a^{(m)}(x)) 分别是 (a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(m)}) 的相关形式负幂级数，(q(x)) 是 (R) 上次数为 (d) 的多项式。那么 (q(x) \in Ann(a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(m)})) 当且仅当对于每个 (i)（(1 \leq i \leq m)），存在唯一的多项式 (p_i(x) \in R[x]) 使得 (v(q(x) \cdot a_i(x) - p_i(x)) > N - d)。这个引理将 (a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(m)}) 的多序列合成问题转化为寻找满足该条件的最小次数多项式，而这可以通过 (R[x]) - 格基约化算法来解决。

2. (R[x]) - 格及其约化基算法

• (R[x]) - 格的定义 ：设 (n) 为任意正整数，(A_n) 表示秩为 (n) 的自由 (A) - 模 (A \oplus \cdots \oplus A)。(A_n) 的标准基由元素 (\varepsilon_1 = (1_A, 0, \cdots, 0), \varepsilon_2 = (0, 1_A, 0, \cdots, 0), \cdots, \varepsilon_n = (0, \cdots, 0, 1_A)) 组成，其中 (1_A) 是 (A) 的单位元，且 (1_A = 1_R)，后续简记为 (1)。对于 (A_n) 中