10、格基的分段LLL约化与浮点正交化

格基的分段LLL约化与浮点正交化

1. 分段迭代的分治策略

在处理格基时，我们可以将段的概念迭代到子段、子子段等。设 $n = k_1 · · · k_s$ 是整数 $k_1, …, k_s ≥2$ 的乘积，且 $s ≤log_2 n$。我们考虑大小为 $n/k_s$ 的段、大小为 $n/(k_sk_{s - 1})$ 的子段、大小为 $n/(k_sk_{s - 1}k_{s - 2})$ 的子子段，依此类推。

我们用 $k(σ) := (k_1, …, k_σ)$ 表示，$k_σ := k_1 · · · k_σ$ （其中 $σ = 1, …, s$）。这里有 $s - 1$ 个段的级别，对于 $σ = 1, …, s - 1$，我们有大小为 $k_σ$ 的 $k_σ$ - 段 $[b_{k_σ(l - 1) + 1}, …, b_{k_σl}]$。

对于 $n = k_1 · · · k_s = k^s$，我们定义 $D(l, k(σ)) = ∥\hat{b} {k_σ(l - 1) + 1}∥^2 · · · ∥\hat{b} {k_σl}∥^2$ 为第 $l$ 个 $k_σ$ - 段的局部行列式。同时，令 $k_0 := 1$，$D(l, k(0)) := ∥\hat{b}_l∥^2$。当 $n = 2^s$ 时，自然地选择 $k_1 = k_2 = … = k_s = 2$。

由于定义 2 中的不等式 3 对于大小大于 $\sqrt{n}$ 的 $k_σ$ - 段不实用，我们去掉该不等式，以实现分治方法。

2. 重要定理及证明

• 定理 5