23、随机波动率模型与蒙特卡罗模拟

随机波动率模型与蒙特卡罗模拟

在金融领域，随机波动率模型和蒙特卡罗模拟是非常重要的工具，它们在期权定价、风险管理等方面有着广泛的应用。下面将详细介绍相关的知识点和练习题。

随机波动率模型练习题

1. 练习题 8.1 ：已知 $X(t)$ 遵循动力学方程 $dX(t) = (2µX(t) + σ^2)dt + σ\sqrt{X(t)}dW(t)$，$X(t_0) = X_0$，推导变换过程 $Y (t) = \sqrt{X(t)}$ 所满足的随机微分方程（SDE）。
2. 练习题 8.2 ：在 Cholesky 分解和瞬时协方差矩阵的背景下分析 Schöbel - Zhu 模型，证明该模型是仿射系统。
3. 练习题 8.3 ：Schöbel - Zhu 模型由波动率过程 $σ(t)$ 控制，推导相应的方差过程 $v(t) = σ^2(t)$ 的分布。
4. 练习题 8.4 ：当 $γ = 0$ 时，Heston 模型退化为具有时间依赖波动率参数 $σ(t)$ 的 Black - Scholes 模型，推导此时的 $σ(t)$ 函数，并展示不同参数 $κ$、$\bar{v}$ 和 $v_0$ 下对应的隐含 Black - Scholes 波动率曲面的行为。
5. 练习题 8.5 ：借助多维 Itô 引理，证明鞅方法确实能得到 Heston 偏微分方程。
6. 练习题 8.6 ：确认引