15、金融中的跳跃过程与COS方法：原理、应用与挑战

金融中的跳跃过程与COS方法：原理、应用与挑战

在金融市场的复杂动态中，资产价格的波动往往并非平滑连续，而是会出现跳跃现象。跳跃过程相关的模型以及用于欧洲期权估值的COS方法，为我们理解和处理这些复杂情况提供了重要工具。

跳跃过程相关模型

VG过程与CGMY模型

VG过程是更一般的CGMY模型的一个特殊情况。通过定义常数C、G和M：
- (C = \frac{1}{\beta})
- (G = (\sqrt{\frac{1}{4}\theta^{2}\beta^{2} + \frac{1}{2}\sigma_{VG}^{2}\beta} - \frac{1}{2}\theta\beta)^{-1})
- (M = (\sqrt{\frac{1}{4}\theta^{2}\beta^{2} + \frac{1}{2}\sigma_{VG}^{2}\beta} + \frac{1}{2}\theta\beta)^{-1})

漂移校正项(\bar{\omega})有如下表示：
(\bar{\omega} := \int_{R}(1 - e^{y})F_{VG}(dy) = C\log\left[\left(1 + \frac{1}{G}\right)\left(1 - \frac{1}{M}\right)\right])

为使(\bar{\omega})有良好定义，需满足(M > 1)。

正态逆高斯过程（NIG）

NIG过程基于逆高斯过程，属于双曲Lévy过程类，其尾部比标准正态过程更厚。它是高斯分布与逆高斯分布的方差 - 均值混合。
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