4、金融资产动态基础与伊藤引理应用

金融资产动态基础与伊藤引理应用

1. 连续利率与资金储蓄账户

在金融领域，连续利率是一个重要的概念。假设初始资金为 1，经过时间 $T$ 后，资金量 $M(T)$ 可以表示为：
$M(T) = (1 + \frac{r}{m})^m$
当利息支付的时间间隔越来越小，即 $m \to \infty$ 时，就定义了连续利率。通过基本的微积分知识可以证明：
$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{r}{m})^m = e^{r}$
在时间点 $t$，银行账户中的资金量为 $e^{rt}$，这就是所谓的资金储蓄账户。

若在时间 $t$ 时，资金储蓄账户中的资金量为 $M(t)$，根据泰勒展开式，在时间点 $M(t + \Delta t)$ 时，资金的增加量约为：
$M(t + \Delta t) - M(t) \approx \frac{dM}{dt} \Delta t + \cdots$
资金的变化与初始资金量、利率 $r$ 以及资金在账户中的时间周期成正比，即：
$\frac{dM(t)}{dt} = rM(t)$
当 $t_0 = 0$ 时，$M(0) = 1$，那么在时间点 $t$ 时，$M(t) = e^{rt}$。反之，如果希望在未来时间点 $t = T$ 时获得 $M(T) = 1$，则需要在时间点 $t_0 = 0$ 时，将 $e^{-r(T - t)}$ 存入资金储蓄账户。

与随机的几何布朗运动（GBM）资产动态方程相比，确定性的利率动态方程（2.4）中，漂移项 $\mu = r$，波动率 $\sigma = 0$。

2. 伊藤过程

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