3、随机过程与金融资产动态入门

随机过程与金融资产动态入门

随机过程基础

随机过程在金融领域有着广泛的应用，它能够帮助我们更好地理解和模拟金融资产价格的不确定性。下面将详细介绍随机过程中的一些重要概念和定理。

Itô积分

Itô积分是随机过程中的一个重要概念，其离散形式定义为：
[I(T) := \int_{0}^{T} g(t)dW(t) = \lim_{m \to \infty} \sum_{i = 0}^{m - 1} g(t_i)(W(t_{i + 1}) - W(t_i))]
其中 (t_i = \frac{iT}{m})。Itô积分在金融领域有着重要的应用，例如在期权定价中，Itô积分可以用来描述资产价格的动态变化。

Itô积分有两种不同的积分方式：Itô积分和Stratonovich积分。Itô积分在计算 (g(t)) 时选择区间 ([t_i, t_{i + 1})) 的左端点，而Stratonovich积分则选择区间的中点。在金融领域，Itô积分更为常用，因为左端点表示当前时间，而中点则依赖于未来时间。

Itô积分具有以下重要性质：
1. 对于任意时间 (t \geq 0)，(I(t)) 是 (F(t)) - 可测的。
2. (E[I(t)|F(0)] = 0)。
3. 对于 (s < t)，(E[I(t)|F(s)] = I(s))，这是鞅性质，并且 (dI(t)) 不包含漂移项。
4. Itô等距性：(E\left[\left(\int_{0}^{T} g(t)dW(t)\right)^2\right] = \int_{0}^{T} E[g^2(t)]dt)。
5. 对于