2、金融中的数学建模与计算：随机过程基础

金融中的数学建模与计算：随机过程基础

在金融领域，数学建模与计算是理解和预测资产价格变动的重要工具。本文将深入探讨随机过程的基础知识，包括特征函数、矩生成函数、累积量、随机过程的基本概念、鞅性质以及随机积分等内容。

特征函数与矩生成函数

特征函数和矩生成函数是概率论中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。对于随机变量 (X)，其特征函数 (\varphi_X(u)) 定义为 (\varphi_X(u) = E[e^{iuX}])，而矩生成函数 (M_X(u)) 定义为 (M_X(u) = E[e^{uX}])。两者之间的关系为 (M_X(u) = \varphi_X(-iu))。

通过特征函数，我们可以计算随机变量的各阶矩。具体来说，随机变量 (X) 的 (k) 阶矩 (E[X^k]) 可以通过特征函数的 (k) 阶导数在 (u = 0) 处的值来计算，即 (E[X^k] = \frac{1}{i^k} \frac{d^k}{du^k} \varphi_X(u)\big|_{u=0})。

对于正随机变量 (Y)，其对数变换后的特征函数 (\varphi_{\log Y}(u)) 与 (Y) 的矩之间也存在关系。当 (X = \log Y) 时，(\varphi_{\log Y}(u) = E[e^{iu \log Y}])。通过设置 (u = -ik)，我们可以得到 (E[Y^k] = \varphi_{\log Y}(-ik))。

累积量特征函数

累积量特征函数 (\zeta_X(u)) 定义为特征函数的对数，即 (\zeta_X(u) = \log \varphi_X(u))。随机变量 (X) 的 (k) 阶矩