1、金融计算中的随机过程基础与应用

金融计算中的随机过程基础与应用

在金融计算领域，随机过程和数值分析的相互作用至关重要。下面将详细介绍随机变量、随机过程的基础知识，以及金融衍生品定价和风险管理的相关内容。

1. 随机变量基础

随机变量是概率论中的重要概念，它在金融领域有着广泛的应用。我们可以通过累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）来描述一个实值随机变量 (X)。
- 累积分布函数（CDF） ：(F_X(x) := P[X ≤ x])，表示随机变量 (X) 小于等于 (x) 的概率。
- 概率密度函数（PDF） ：(f_X(x) := \frac{dF_X(x)}{dx})，是 CDF 的导数。

对于连续实值随机变量 (X)，其期望 (E[X]) 和方差 (Var[X]) 的定义如下：
- 期望 ：(E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x dF_X(x))，前提是 (\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f_X(x) dx) 有限。
- 方差 ：(Var[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X])^2 f_X(x) dx)，前提是该积分存在。

此外，对于连续随机变量 (X) 和常数 (a \in R)，指示函数的期望与 CDF 相关：
(E[\mathbb{1} {X\leq a}] = \int {R}