52、F变换理论及其重构应用

F变换理论及其重构应用

1. 预备知识：奈奎斯特 - 香农 - 科捷利尼科夫重构

数字信号可视为随时间变化的函数，且其傅里叶变换在某个有界区间外为零，即信号是带限的。采样定理（奈奎斯特 - 香农 - 科捷利尼科夫定理）指出了从信号的一组样本中完全重构信号的充分条件。

1.1 采样定理

设 $x \in L^2(R)$ 是连续且带限的，即对于 $|\omega| > \Omega$，$\hat{x}(\omega) = 0$，其中 $\hat{x}$ 是 $x$ 的傅里叶变换，$\Omega$ 是某个正常数。则 $x$ 可以由其在离散点集上的值确定：
[x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x(\frac{k\pi}{\Omega}) \cdot \frac{\sin(\Omega t - k\pi)}{\Omega t - k\pi}]
使用记号 $h = \frac{\pi}{\Omega}$，$t_k = \frac{k\pi}{\Omega} = k \cdot h$，相应的重构公式为：
[x(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x(t_k) \cdot \text{sinc}(\frac{t}{h} - k)]
其中 $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$。

1.2 相关概念总结

概念	描述