12、正半域上的伽罗瓦连接及模态模糊逻辑的语义探索

正半域上的伽罗瓦连接及模态模糊逻辑的语义探索

1 幂等奇异值分解

1.1 奇异值分解基础

奇异值分解（SVD）是一种广为人知的用于实数或复数矩形矩阵的分解方案。对于矩阵 $M \in M_{m×n}(K)$（其中 $K$ 是一个域），存在分解 $M = UΣV^ $，这里的 $ $ 表示共轭，且涉及三个矩阵：
- $U \in M_{n×n}(K)$ 是左奇异向量构成的酉矩阵。
- $Σ \in M_{m×n}(K)$ 是由非负实值组成的对角矩阵，这些值被称为奇异值。
- $V \in M_{n×n}(K)$ 是右奇异向量构成的酉矩阵。

通常，奇异值按降序排列，左右奇异特征值也会相应重新排序。矩阵 $M$ 还可以用外积表示为：
$M = \sum_{i = 1}^{\min(m,n)} \sigma_i u_i v_i^*$

由于 SVD 计算成本较高，因此找到 $k < \min(m, n)$，使得使用 $k$ 个最大奇异值来近似矩阵 $M$ 是很有意义的：
$M \approx \sum_{i = 1}^{k} \sigma_i u_i v_i^*$

特别地，零特征值对应的奇异向量对矩阵重构没有贡献，可以舍弃。这种近似方法在潜在语义分析等应用中特别有用。

1.2 幂等半域中的奇异值分解

在幂等半域中，全奇异值分解相对容易。对于矩阵 $A \in M_{m×n}(K)$，有不少于四种用另外两个矩阵表示的分解形式：
$A \otimes (A \circledast \otimes A) = A \otim