5、粗糙集与基于优势关系的粗糙集的语义方法

粗糙集与基于优势关系的粗糙集的语义方法

1. 近似算子示例

首先通过一个例子来说明近似算子。设 $U = {a, b, c, d, e}$ 且 $C = { {a}, {b, d}, {a, b, c}, {b, c, e}}$，则
$\cup^*(C) = {\varnothing,{a}, {b, d}, {a, b, c}, {b, c, e}, {a, b, d},
{a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}}$。

对于集合 ${a, b, c}$，其下近似 $apr({a, b, c}) = {a, b, c}$，上近似 $apr({a, b, c}) = { {a, b, c}}$；对于集合 ${b, c, d}$，其下近似 $apr({b, c, d}) = {b, d}$，上近似 $apr({b, c, d}) = { {a, b, c, d}, {b, c, d, e}}$。

2. 基于自反和传递邻域算子的下近似算子的不同刻画

Pawlak 模型的下近似算子为 $apr(X) = \bigcap {Y \in B(U/E) | Y \subseteq X}$，这里 $E$ 是基于数据的等价关系，$X$ 是全集 $U$ 的子集，此刻画被称为 Pawlak 模型的基于子系统的定义。此外，下近似算子还有基于元素和基于粒度的两种等价定义：
- 基于元素的定义：$apr(X) = {x \in U | [x]_E \subseteq X}$
- 基于粒度的定义：$apr(X) = \b