4、复变函数中的留数定理及其应用

复变函数中的留数定理及其应用

1. 留数定理基础

留数定理是复变函数中用于计算闭合复积分的重要工具。当函数 (f(z)) 在闭合曲线 (C) 内及 (C) 上除有限个孤立奇点 (z_1, z_2, \cdots, z_n) 外解析时，留数定理表明：
[
\oint_{C} f(z) dz = 2\pi i \sum_{j = 1}^{n} \text{Res}[f(z); z_j]
]
其中 (\text{Res}[f(z); z_j]) 表示 (f(z)) 在孤立奇点 (z = z_j) 处的留数。

1.1 留数定理的推导

考虑一个闭合曲线 (C)，函数 (f(z)) 在 (C) 内有若干孤立奇点。我们引入一个新的曲线 (C’) 来排除所有奇点，因为奇点是孤立的。根据柯西积分定理，有：
[
\oint_{C} f(z) dz - \oint_{C_1} f(z) dz - \cdots - \oint_{C_n} f(z) dz = \oint_{C’} f(z) dz = 0
]
对于第 (m) 个积分，在孤立奇点 (z = z_m) 处构造 (f(z)) 的洛朗展开式：
[
\oint_{C_m} f(z) dz = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \oint_{C_m} \frac{1}{(z - z_m)^k} dz + \sum_{k = 0}^{\infty} b_k \oint_{C_m} (z - z_m)^k dz
]
当 (k \geq 0) 时，((z - z_m)^k) 是整函数，第二个求和中的积分都为零。利用柯