zoj 1508 | poj 1201 Intervals

本文探讨了利用差分约束算法解决POJ赛题的问题,详细介绍了算法的思路、构造有向图的方法以及如何求解源点到终点的最短路,通过实例分析了如何将实际问题抽象为差分约束问题并最终求解。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

类型:差分约束

题目:http://poj.org/problem?id=1201

来源: Southwestern Europe 2002
思路:设S[i]是集合z中小于等于i的元素的个数

(1)z集合中范围在[ai, bi]的整数个数即S[bi] - S[ai-1]至少为ci,得到不等式组

S[bi] - S[ai-1] >= ci ,转化为 S[ai-1] - S[bi] <= -ci;

(2)S[i] - S[i - 1] <= 1

(3)S[i] - S[i - 1] >= 0 => S[i - 1] - S[i] <= 0

据此构造有向图,设所有区间右端点最大值为maxb,左端点最小值为minb

题目要求的即是S[maxb] - S[minb - 1]的最小值,即求S[maxb] - S[minb - 1] >= M中的M

转化为S[minb - 1] - S[maxb] <= -M。即求源点maxb到终点minb - 1的最短路

设最短路径长保存在dist中,那么-M = dist[minb - 1] - dist[maxb]

M = dist[maxb] - dist[minb - 1]

#include <iostream>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

#define FOR(i,a,b) for(i = (a); i < (b); ++i)
#define FORE(i,a,b) for(i = (a); i <= (b); ++i)
#define FORD(i,a,b) for(i = (a); i > (b); --i)
#define FORDE(i,a,b) for(i = (a); i >= (b); --i)
#define CLR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define PB(x) push_back(x)

const int MAXN = 50010;
const int MAXM = 50010;
const int hash_size = 25000002;
const int INF = 0x7f7f7f7f;

bool vis[MAXN];
int cnt, n;
int maxb = -1, minb = INF;
int head[MAXN], dist[MAXN], cnt0[MAXN];
struct edge {
    int v, w, nxt;
}p[MAXM * 4];

void addedge(int u, int v, int w) {
    p[cnt].v = v;
    p[cnt].w = w;
    p[cnt].nxt = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

int spfa(int x) {
    int i;

    CLR(cnt0, 0);
    CLR(vis, false);
    FORE(i, minb - 1, maxb)
        dist[i] = INF;
    dist[x] = 0;
    queue<int> q;
    q.push(x);
    vis[x] = true;
    ++cnt0[x];
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        vis[u] = false;
        for(i = head[u]; i != -1; i = p[i].nxt) {
            int v = p[i].v;
            if(p[i].w + dist[u] < dist[v]) {
                dist[v] = p[i].w + dist[u];
                if(!vis[v]) {
                    q.push(v);
                    vis[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return dist[minb - 1];
}

void init() {
    int i, ai, bi, ci;

    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        cnt = 0;
        CLR(head, -1);
        maxb = -1, minb = INF;
        FORE(i, 1, n) {
            scanf("%d %d %d", &ai, &bi, &ci);
            addedge(bi, ai - 1, -ci);
            maxb = max(maxb, bi);
            minb = min(minb, ai);
        }
        FORE(i, minb, maxb) {
            addedge(i, i - 1, 0);
            addedge(i - 1, i, 1);
        }
        printf("%d\n", -spfa(maxb));
    }
}

int main() {
    init();
    return 0;
}




### ZOJ 1184 和 POJ 1013 的解决方案 #### 关于 ZOJ 1184 ZOJ 1184 是一道经典的数学问题,通常涉及阶乘和模运算。这类问题的核心在于通过观察数据模式来推导出通用公式[^1]。对于此类题目,可以通过打表的方式寻找规律并验证猜想。 以下是解决该类问题的一个典型方法: - **核心思想**: 使用快速幂算法优化计算过程。 - **实现代码**: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; long long fast_pow(long long base, long long exp, long long mod) { long long res = 1; while(exp > 0){ if(exp % 2 == 1){ res = (res * base) % mod; } base = (base * base) % mod; exp /= 2; } return res; } int main(){ int t; cin >> t; while(t--){ long long n, p; cin >> n >> p; cout << fast_pow(n, p-2, p) << endl; } } ``` 上述代码实现了基于快速幂的求解方案,适用于大数范围内的高效计算。 --- #### 关于 POJ 1013 POJ 1013 属于图论中的连通性问题,其目标是判断一组房间之间是否存在完全可达的关系。此问题可以转化为广度优先搜索(BFS)的经典应用案例[^2]。 下面是解决问题的一种常见方式: - **核心思想**: 利用 BFS 或 DFS 来遍历整个图结构,并标记已访问节点。 - **实现代码**: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; bool canVisitAllRooms(const vector<vector<int>>& rooms) { queue<int> q; unordered_set<int> visited; q.push(0); visited.insert(0); while(!q.empty()){ int currentRoom = q.front(); q.pop(); for(auto key : rooms[currentRoom]){ if(visited.find(key) == visited.end()){ visited.insert(key); q.push(key); } } } return visited.size() == rooms.size(); } int main(){ vector<vector<int>> rooms = {{1}, {2}, {}, {}}; cout << (canVisitAllRooms(rooms) ? "True" : "False") << endl; } ``` 这段代码展示了如何利用队列完成对所有房间的可达性检测,确保逻辑清晰且易于扩展。 --- ### 总结 无论是处理数学性质较强的 ZOJ 1184 还是偏向图论基础操作的 POJ 1013,都需要掌握一定的理论背景以及实际编码技巧。前者强调数值分析能力,后者则更注重抽象建模水平。
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