天平称球问题（三）

再说一下我自己的方法。

 

1234  vs  5678

1259  vs  34AB

379A  vs  146C

 

这样称量过后，无论哪个球是好事坏，都会有唯一的称量结果。例如，假设9是坏重球，那么称量结果就是平衡、左重、左重，坏球改成任何其他球，都不会出现这个称量结果。那么，上面这个是怎么推导出来的呢？

 

注意到，如果一个球不参加称量，那么是无法知道轻重的，所以想确切找出哪个球是坏球并知道轻重，每个球都要至少称量一次。

 

假设我们称量顺序与每次称量的球都是固定好的（就是没有逻辑剪枝），那么假如一个球是坏球，它偏轻和偏重，会形成“对称”的结果。例如假设上面的三次称量中1号球是坏重球，那么称量结果就是（左重，左重，右重），如果1号是坏轻球，那么称量结果就是（右重，右重，左重）。

 

所以我们先将3次称量所可能形成的结果排列出来，并将“对称”结果拼成一对，赋给某一号球。另外还有一个约束条件，就是出现的总球数必然是偶数，因为每次称量的球数都是偶数。

 

为简便起见：z左重、p平衡、y右重，当称量平衡时，说明这个球没有参加这次称量。

 

球编号	球轻或重，天平的对称结果	球出现次数
	zzz  or  yyy	3（没用到）
1	zzy  or  yyz	3
2	zzp  or  yyp	2
3	zyz  or  yzy	3
4	zyy  or  yzz	3
5	zyp  or  yzp	2
6	zpz  or  ypy	2
7	zpy  or  ypz	2
8	zpp  or  ypp	1
9	pzz  or  pyy	2
A	pzy  or  pyz	2
B	pzp  or  pyp	1
C	ppz  or  ppy	1
	ppp	对称状态也是ppp，球没有出现，所以这个时候 无法判断球的轻重，这个状态无用。

 

 

上表就是一个例子，其中ppp需要舍弃，因为它表示球根本没参加称量，也就无法知道球的轻重。另外球出现次数的总和是24，是一个偶数。

 

每个球往天平上放的时候，会发现并不是随便摆放就行的。可能会因为摆放不好造成天平两端不均。这里就需要仔细讨论一下。因为我们已经知道，天平称量n次共有3^n种结果，而可以分辨f(n) = (3^n- 3) / 2个球，每个球我们要赋予它2个“对称”结果，那么刨除全部平衡的那个结果（例如上表的ppp），还需要刨除一对。

 

刨除哪对呢？我们发现，如果一个球对应的结果确定了，那么无论选择“对称”哪一种，某一次称量（例如第一次）这个球出现的次数都不变。例如，1号球对应了（zzy or yyz），那么第一次称量，无论将1号球放在左边或者右边，第一次称量都包含1号球。

 

所以除去ppp那个状态，对剩下的统计第一次称量，出现多少个球；第二次称量出现多少个球；第三次……会发现每次称量都是9个球，那么为了每次称量都是偶数，必须剔除一行不包含p的结果（球出现次数为3的行），例如剔除（zzy or  yyz），将1号球对应的结果改为（zzz or  yyy）也能推导出一个放法：

 

1456  vs 2378

13AB  vs 2459

167C  vs 349A

 

 

对于更多球的情况也类似，都要剔除某一个球出现次数等于n的行。

 

这个方法有个缺陷，就是计算量很大，将3^n的排列列出来，在n很大时是一个指数级的数。另外排布的时候需要注意，天平两端的球的个数都是( 3^(n-1) - 1 ) / 2 个。但这也算是一种研究，因为它能更清楚地看到天平称量n次的信息容量，以及这些信息都去了哪里。