EOJ Monthly 2018.9 (based on Trial Round #3) D. 素数子序列【数学：三胞胎素数】

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题目链接：https://acm.ecnu.edu.cn/contest/106/problem/D/

思路：

（摘录）

n=1: 给一个质数可以。如果要填的话，就填一个质数。
n=2: 如果 p1>2 且 p2>2，显然不行。所以肯定有一个等于 2，不妨令 p1=2（等会别忘了讨论 p2=2 的，或者 reverse 一下），只要检查 p2 和 p2+2是不是都是素数即可（孪生素数）。建议的写法是把所有可能的填法都填一遍然后再检查。如果两个数都可以乱填，那就……乱填。
n=3：只有 2 3 2 这一种情况（给在样例里了）。证明援引三胞胎素数：当素数 p 大于 3 时，可以证明形同 (p,p+2,p+4) 的数组不可能是三胞胎素数。事实上，这三个数对 3 的模两两不同，所以必然有一个能被 3 整除。然而这三个数都比 3 要大，因此一定有一个是 3 的倍数，从而这个数不是素数。
n≥4: 无解。首先两个奇数不能相邻，所以肯定是类似 2 p 2 p ... 这样的形式（其中 p 是大于等于 3 的质数），而一旦出现 p 2 p，2+2p 一定是偶数。

三胞胎素数：

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2， 3， 5) 和 (3， 5， 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

A类三胞胎素数，构成为 $p,p+2,p+6$ ，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B类三胞胎素数，构成为 $p,p+4,p+6$ ，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

当素数p 大于3时，可以证明形同 $p,p+2,p+4$ 的数组不可能是三胞胎素数。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。

（因为对3取模，只能得到0,1,2三个数，如果3个数取模两两不同，则一定有一个是被3整除得0的）

在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。

公式1：

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数 $A-2, A, A+4$ 都不能被不大于 $\sqrt{A+4}$ 的任何素数整除，则 $A-2, A$ 与 $A+4$ 都是素数”。

这个定理的证明用到一个简单的定理：這是因为一个自然数是素数当且仅当它不能被任何小于等于的素數整除

公式2：

对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数 $B-4, B, B+2$ 都不能被不大于 $\sqrt{B+2}$ 任何素数整除，则 $B-4, B$ 与 $B+2$ 都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<string>
#include<set>

using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;

#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
#define REP(i,n) for(int i=0;i<n;++i)

int read(){

    int r=0,f=1;char p=getchar();
    while(p>'9'||p<'0'){if(p=='-')f=-1;p=getchar();}
    while(p>='0'&&p<='9'){r=r*10+p-48;p=getchar();}return r*f;
}

typedef tree<pair<long long,int>,null_type,less< pair<long long,int> >,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update> rbtree;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<long long,long long> pll;
const int Maxn = 1e5+10;
const long long LINF = 1e18;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int Mod = 10001;
const double PI = acos(-1.0);

int num[Maxn];

bool check (int x) {
	if(x == 1) return false; // 1不是素数，注意 
	for (int i = 2; i <= sqrt(x); ++i) {
		if(x%i == 0) return false;
	}
	return true;
}

int main (void)
{
   	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> num[i];
	if(n > 3) cout << "Impossible" << endl;
	else if(n == 1) {
		if(!num[1]) cout << "2" << endl;
		else if(check(num[1])) cout << num[1] << endl;
		else cout << "Impossible" << endl;
	} else if(n == 2) { 
			if(!num[1] && !num[2]) { num[1] = 2; num[2] = 3; }
			else if(num[1] == 2 && !num[2]) num[2] = 3;
			else if(num[2] == 2 && !num[1]) num[1] = 3;
			else if(num[1] >= 3 && !num[2]) num[2] = 2;
			else if(num[2] >= 3 && !num[1]) num[1] = 2;
			
			if(!check(num[1]+num[2]) || !check(num[1]) || !check(num[2])) cout << "Impossible" << endl;
			else cout << num[1] << " " << num[2] << endl;
	} else {
		if((num[1] == 2 || !num[1]) && (num[2] == 3 || !num[2]) && (num[3] == 2 || !num[3]))
		cout << "2 3 2" << endl;
		else cout << "Impossible" << endl;
	}
    return 0;
}

拓展（四胞胎素数）

四胞胎素数（四连素数）是指一组符合以下形式的素数（p, p+2, p+6, p+8）。上述形式是大于3的四个连续素数出现机率最高的形式。头几组四胞胎素数如下：

（5, 7, 11, 13），（11, 13, 17, 19），（101, 103, 107, 109），（191, 193, 197, 199），（821, 823, 827, 829）（OEIS中的数列A007530）。