分数取模

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原创最新推荐文章于 2026-09-11 10:56:55 发布 2.1w 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

分数取模（快速取模法+小费马定理）这周打了牛客竞赛周赛，结果在第一道题就卡死了（呜呜呜）这是原题牛客练习赛49 拿到题后，本蒟蒻想着不就是一道排序题吗，就直接写了一个快速排序输出，结果直接WA了。百思不得其解，这时后台发来了一个广播消息：提示：如果不能整除，输出分数取模后的结果。 what？？？分数取模，虽然刚刚学过密码学的时候接触过，但不知道算法怎么写啊，果断地去百度了一下，找到了小费马定理：a^p-1 mod p = 1 ... 阅读详情

这里介绍一种分数取模的代码：

假设要求 $\frac{1}{a}\quad mod \quad p$

这里要引用小费马定理 $a^{p-1}\quad mod \quad p = 1 \quad mod \quad p$ (有兴趣的可以百度查下证明过程) ，这里对这个公式做点改动

$\because \quad a^{p-1} \quad = a^{p-2}\times a$

$\therefore \quad (a^{p-2}\times a)\quad mod \quad p = 1\quad mod\quad p$

$\therefore \quad a^{p-2}\quad mod \quad p = a^{-1}\quad mod\quad p$

在代码里面，我们可以通过扩展欧几里得定理来求一个数的模，但是扩展欧几里得暂时还不能求分数的模，那么这里可以将这个分数的取模换成对整数求模来得出相同的结果，也就是说把 $\quad \frac{1}{a}\quad mod \quad p \quad$ 这个问题转化求 $\quad a^{p-2}\quad mod \quad p$

现在把代码放上来：

long long fast_mod(long long a,long long b) {
	long long r = 1;
	a %= mod;
	while (b) {
		if (b & 1) r = (r*a) % mod;
		a = (a*a) % mod;
		b >>= 1;
	}
	//cout << r << endl;
	return r;
}

同样的，如果分子不为1，那么可以用 $(m\times a^{-1}) \quad mod \quad p = ((m\quad mod\quad p)\times (a^{-1}\quad mod\quad p))\quad mod \quad p$ (这是取模的运算规则，可以在百度查找一下，对取模十分有用)