有限主理想环上的常循环码

有限主理想环上的常循环码

艾莎·巴图尔1(B)，肯扎·瓜达1, T·亚伦·古利弗2,和努赫·阿伊丁3
1科技大学数学系，阿尔及利亚阿尔及尔16111 Batoul@gmail.com，ken.guenda@gmail.com
2维多利亚大学 电气与计算机工程系，加拿大不列颠哥伦比亚省维多利亚 V8W2Y2agullive@ece.uvic.ca
3凯尼恩学院数学与统计系，美 国俄亥俄州甘比尔43022aydinn@kenyon.edu

摘要

本文研究了有限主理想环上的常循环码。给出了有限主理想环上常循环码与循环码之间的一个同构。此外，通过给出有限主理想环上存在非平凡循环自对偶码的充分必要条件，部分回答了一个开放性问题。作为有限主理想环上码的例子，我们研究了 R+ vR上的常循环码，其中 v²= v 且 R是一个有限链环。

关键词： 主理想环上的码 · Self-dual码 · Cyclic码 · Constacyclic码

1 引言

尽管环上码并非新概念，但自1994年哈蒙斯等人[10]建立了非线性二元码与上 线性码之间的基本联系后，环上码才开始受到研究界的广泛关注。 Z₄。

Bannai等人[1]和Bonnecaze等人[5]给出了自对偶码与单模格之间的联 系。这些结果引发了人们对在多种环上的自对偶码的广泛研究兴趣（见[15]及 其中的参考文献）。Dougherty等人[7,8]利用中国剩余定理推广了主理想环 上码的结构，并在[8]中给出了主理想环上自对偶码存在的条件。Batoul等人[3] 给出了在 F_q + vF_q上的自对偶和等对偶循环码存在的条件，其中 v²= v。在 [2],中给出了有限链环上循环自对偶码存在的条件。

常循环码环上码类作为环上循环码类的扩展而被引入。Guenda和Gulliver [9]扩展了将[6]中给出的循环码结构推广到主理想环上的常循环码。最近，人们研究了 各种交换环上的常循环码。巴图尔等人[2,4]证明了在某些条件下，若干常循 环码与循环码等价。

本文研究了有限主理想环上的常循环码。利用中国剩余定理，我们将这些 码的研究归结为在有限链环上常循环码的研究。这使得我们能够给出常循环码 与这些环上循环码之间同构的条件。此外，还给出了主理想环上自对偶循环码 存在的充分必要条件。文中通过实例说明了我们的结果，并表明文献中的一些 近期结果是本文结果的特例。

本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们介绍了一些关于弗罗贝尼乌斯 环、主环和有限链环的基本结果，这些结果将在后文中有用。第[2,4]节中的 结果在第3节中被推广到有限主理想环上的常循环码。在第4节中，我们给出了 有限主理想环上自对偶循环码存在的充分必要条件。作为有限主理想环上码的 一个例子，在第5节中我们研究了 R+ vR上的常循环码，其中 v²= v且 R是 一个有限链环。最后，第6节给出了一些结论。

2 预备知识

我们假设所有环都是交换的且有单位元。对于未解释的术语和更多细节，我们 推荐读者参考[13]。设 R是一个有限环。一个码 C是 Rⁿ的一个子集，而一 个关于 R的线性码是Rⁿ的一个 R‐子模，此时称该码的长度为 n。我们在环境 空间上赋予标准内积，即[u, v]= ∑ uᵢvᵢ。 C的对偶码定义为
C⊥={u ∈ Rⁿ | [u, v]= 0 for all v ∈ C}. (1)

如果一个码满足C ⊆ C⊥，则称其为自正交的；如果满足 C= C⊥，则称其为自 对偶的。向量 Rⁿ的汉明重量是指该向量中非零坐标的个数。一个码的最小重 量是该码中所有非零码字的最小汉明重量。如果 C ⊂ Rⁿ是自由 R‐模，则称码 C ⊂ Rⁿ为自由码，即 C与某个 k对应的 R‐模 Rᵏ同构。

含单位元的有限交换环是主理想环，当且仅当每个真理想 I ⊂ R是主理想。

在有限主理想环 R上的码 C及其对偶满足如下性质
|C||C ⊥| = |R|ⁿ and(C ⊥ ) ⊥= C. (2)

2.1 有限链环

在本小节中，我们总结了来自[6,14]的一些结果。有限链环是一个有限的、交换的、 局部的、含单位元 1 ≠ 0的主理想环 R，其理想按包含关系排序。设 m= 〈γ〉是有限链环 R的极大理想。则 γ是幂零的，其幂零指数 为某个整数 e。

的幂零根是 R \ 〈γ〉，因此 〈γ〉的所有元素都是幂零的。因此 R\ 〈γ〉的 元素都是单位元。由于 〈γ〉是极大理想，剩余类环 〈R/γ〉是一个域，我们将其记 为 K。自然满射环同态由（−）如下给出
−: R −→ K
a −→ a= a mod γ (3)

集合 R∗ 表示 R 中单位元的乘法群。

我们将有限链环的特征定义为素数 p，它是 R的剩余域 K的特征。注意， 这不是环的特征的通常定义。

设 n为正整数， q为素数幂。我们用 ordₙ(q)表示 q模 n的乘法阶，即满 足 qˡ ≡ 1mod n的最小非零整数 l。

2.2 有限主理想环

在本小节中，我们回顾关于有限主理想环的一些基本事实。在链 I ⊃ I² ⊃ I³ ⊃ …中，满足 Iᵉ= Iᵉ⁺¹= ··· 的最小的 e ≥ 1 …称为 I的稳定性指数。如果 I是幂零的，则使得 Iᵉ= 0成立的最小 e ≥ 1称为 I 的幂零指数，且与 I的稳定性指数相同。注意，如果 R是具有极大理想 M的局部 环，则必有 Mᵉ= Mᵉ⁺¹= ···= 0。但对于非局部环来说，情况并非如此。

设 m₁, m₂,…, mₖ为有限主理想环 R的极大理想，e₁,…, eₖ为其对应的稳定性指数。则理想 m₁ᵉ¹, m₂ᵉ²,…, mₖᵉᵏ互素且满足
$$
\prod_{i=1}^{k} m_i^{e_i} = \bigcap_{i=1}^{k} m_i^{e_i} = {0}.
$$

由中国剩余定理的环版本，典范环同态
Ψ: R −→ $\prod_{i=1}^{k}$ R/mᵢᵉⁱ,
由 x −→(x+m₁ᵉ¹,…, x+mₖᵉᵏ) 定义。令 Rᵢ = R/mᵢᵉⁱ, i= 1,…, k。
Rᵢ的极大理想具有幂零指数 eᵢ。

对于 R 上的码 C ⊂ Rⁿ 及 R 的极大理想 mᵢ， C 的 mᵢ‐投影定义为 Cᵢ= Ψᵢ(C)，其中 Ψᵢ: Rⁿ −→ Rᵢⁿ 是典范映射。我们将映射 Ψ 扩展到 Rⁿ 如下
Ψ: Rⁿ −→ $\prod_{i=1}^{k}$ Rᵢⁿ,
由 Ψ(u) = (Ψ₁(u)…, Ψₖ(u)) 对 u ∈ Rⁿ 定义。

使用上述定义的典范映射，由该典范映射定义的码
C={Ψ⁻¹(u₁,…, uₖ); uᵢ ∈ Cᵢ, i= 1,…, k}
={u ∈ Rⁿ; Ψᵢ(u) ∈ Cᵢ, i= 1,…, k}
称为码 Cᵢ的中国剩余定理乘积，记作 C= CRT(C₁,…, Cₖ)。作为特例，对于 任意有限主理想环 R，我们有
Rⁿ= CRT(R₁ⁿ, R₂ⁿ,…, Rₖⁿ),
其中 Rᵢ是有限链环，且 R= ∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ或 R= ⊕ₖᵢ₌₁Rᵢ，这称为有限主理想环 的标准分解或局部成分 Rᵢ, 1 ≤ i ≤ k的中国剩余定理乘积。

3 有限主理想环上的常循环码

本节考虑定义在有限交换环上的码，这些环是有限主理想环。设 R是一个含 单位元的交换环。对于给定的单位元λ ∈ R，若码 C满足：只要(c₀, c₁,…, cₙ₋₁) ∈ C，就有(λcₙ₋₁, c₀, c₁,…, cₙ₋₂) ∈ C，则称该码为 constacyclic码， 更具体地称为 λ‐constacyclic码。作为特例，循环码和负循环码分别对应于 λ= 1和 −1。本节的主要目标是证明有限主理想环上constacyclic码与循环码 之间存在同构关系。我们首先回顾[2]中给出的一些结果。

3.1 有限链环上的常循环码

我们从以下定义开始。

定义1。 设 R是具有剩余域 F_q的有限链环。一个多项式f(x) ∈ R[x]称为基本不可约的，如果 f(x)在 R[x]= F_q[x]中是不可约的。

在 R[x]中的两个多项式 f(x)和 g(x)称为互素，如果
R[x]= 〈f(x)〉+ 〈g(x)〉.

设 λ是有限链环 R中的一个单位元。若多项式 f(x)整除 xⁿ−λ，例如 xⁿ − λ= f(x)g(x)，我们称 g(x)= (xⁿ −λ)/f(x)为ˆ f(x)。

定理1 ([9,定理4.14]) 。设 R为有限链环， C为 R[x]上的长度为 n的 λ-常循环码，且(n,p) ≠ 1，其中 p是 R的特征。则存在唯一的一组在 R[x]中的两两 互素多项式F₀, …, Fₑ，使得 F₀ ··· Fₑ= xⁿ − λ且 C= 〈 ˆF₁, γ ˆF₂, …, γᵉ⁻¹ ˆFₑ〉，其中ˆFⱼ = (xⁿ −1)/Fⱼ 对 0< j ≤ e成立。此外，我们有
$$
|C| = |K|^{\sum_{j=0}^{e-1}(e-j) \deg F_j +1}, \tag{4}
$$
其中 R[x]/〈xⁿ − λ〉 是一个主理想环。

在某些情况下，常循环码等价于循环码，如下一推论所述。

推论1 ([4,推论3.5]) . 设 R是一个有限链环，且 λ, δ是R中的单位元，满足 λ= δⁿ。 子集 I在 R[x]中是 R[x]/〈xⁿ −1〉的理想当且仅当 μ(I)是 R[x]/〈xⁿ −λ〉中的理想。

3.2 有限主理想环上的常循环码

在本节中，我们将上述结果推广到有限主理想环。我们首先给出一些后续有用的结论。

引理1。 设 R是一个具有标准分解的有限主理想环
R= CRT(R₁, R₂,…, Rₖ)
则任意单位元λ ∈ R∗等于 CRT(λ₁, λ₂, …, λₖ)，其中 λᵢ ∈ Rᵢ∗。

证明。 该证明是分解 R∗=CRT(R₁∗, Rₖ∗) 的直接结果。∎

引理2. 设 R为有限主理想环， ∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ为其直分解，即 R= CRT(R₁, R₂, …, Rₖ)。 R存在单位元 λ和 δ使得 λ= δⁿ当且仅当每个有限链环 Rᵢ存在单位元 λᵢ和 δᵢ使 得 λᵢ= δᵢⁿ。

证明。 如果存在单位元λᵢ, δᵢ ∈ Rᵢ，使得 λᵢ= δᵢⁿ对 1 ≤ i ≤ k成立，则 λ= CRT(λ₁, λ₂, …, λₖ)和 δ= CRT(δ₁, δ₂, …, δₖ)满足 λ= δⁿ。由引理 1可知， δ和 λ是 R中的单位元。反之，若 R存在单位元 λ和 δ使得 λ= δⁿ成立，则由引理 1 λᵢ= Ψᵢ(λ)可得= Ψᵢ(δⁿ)= Ψᵢ(δ)ⁿ= δᵢⁿ，因此结论成立。∎

定理2。 设 R为有限主理想环，∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ为其直和分解，且 λ是 R中的一个单位元，使得 λ= CRT(λ₁, λ₂, …, λₖ)满足 λᵢ ∈ Rᵢ∗。进一步设 C= CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)是长度为 n的关于 R的码，其在 Rᵢ, 1 ≤ i ≤ k上的局部分量码Cᵢ的长度为 n。 则 C是关于 R的 λ-常循环码当且仅当每个 Cᵢ是关于 Rᵢ的 λᵢ-常循环码。

证明。 对于 i ∈{1,…, k}，设 F_{qᵢ} 为 Rᵢ 的剩余域。定义如下环同态
φᵢ: R[x]/〈xⁿ − λ〉 −→ Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉
a₀+ a₁x+ ··· aₙ₋₁xⁿ⁻¹ −→ ψᵢ(a₀)+ ψᵢ(a₁)x+ ···+ ψᵢ(aₙ₋₁)xⁿ⁻¹
因此
φ: R[x]/〈xⁿ −λ〉 −→ R₁[x]/〈xⁿ −λ₁〉× R₂[x]/〈xⁿ −λ₂〉×···× Rₖ[x]/〈xⁿ −λₖ〉
其中
φ(f(x))=(φ₁(f(x)), φ₂(f(x)),···, φₖ(f(x))).

如果 I 是 R[x]/〈xⁿ − λ〉 的一个理想，则 φᵢ(I) 是 Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉 的一个 理想。反之，对于 Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉 中的理想 Iᵢ，定义
φ⁻¹(I₁, I₂,…, Iₖ)= I= CRT(I₁, I₂,…, Iₖ),
它是R[x]/〈xⁿ − λ〉中的一个理想。将 λ‐常循环码与其对应的理想相关联，我们得到
CRT(C₁, C₂,…, Cₖ),
当且仅当每个Cᵢ是 Rᵢ上的 λᵢ‐常循环码时， λ‐常循环码在 R上成立。∎

推论2. 在上述假设下，R[x]/〈xⁿ−λ〉是主理想环当且仅当对所有 1 ≤ i ≤ k， Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉是主理想环。

证明。 设 C为 R上由f(x) ∈ R[x]/〈xⁿ − λ〉生成的长度为 n的 λ‐常循环码。 由于 C= CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)，根据定理 2 Cᵢ，其由 φᵢ(f(x))生成，而该式 是 Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉中的一个多项式，因此 Cᵢ是主理想。反之，设 Cᵢ为 Rᵢ 上由 fᵢ(x) ∈ Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉生成的长度为 n的循环码，并设 f(x) ∈ R[x]/〈xⁿ − λ〉满足f(x) = φ⁻¹(f₁(x) f₂(x) ···, fₖ(x))。由于 φ是环同构， f(x)唯一。若 D是由 f(x)生成的循环码，则 D= CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)。由 中国剩余定理可知 CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)唯一，因此C= D。∎

例1。 设F_p为阶是 p的有限域，且 R= F_p[x]/〈v² − v〉=F_p+ vF_p。由于 〈v〉 和 〈1 − v〉是仅有的稳定性指数为1的极大理想，则 R= F_p/〈v〉⊕F_p/〈1 − v〉 ≅ F_p×F_p是 R的直分解。注意， Rⁿ中任意元素 c均可表示为 c= a+ vb= v(a+ b)+(1 − v)a，其中 a, b ∈ F_pⁿ。现在令
ψ: Rⁿ −→ F_pⁿ × F_pⁿ
a+ bv → ψ(a+ bv)=(ψ₁(a+ bv), ψ₂(a+ bv))=(a+ b, a), (5)
是规范的 R-模同构。对于 i= 1，2，设 Cᵢ是长度为 n的关于 F_p的一个码，并设
C= CRT(C₁, C₂)= ψ⁻¹(C₁ × C₂)={ψ⁻¹(v₁, v₂) | v₁ ∈ C₁, v₂ ∈ C₂}.
则 C是码C₁和 C₂的中国积。根据定理2， C是 R上的 λ-常循环码当且仅当 每个 Cᵢ是 F_p上的 λᵢ-常循环码且满足 λ= CRT(λ₁, λ₂)。令 λ= 1 −2v= −v+ (1 − v)使得 λ= CRT(−1, 1)。则任何 R上的(1 −2v)-常循环码 C具有形式 C= CRT(C₁, C₂)，其中 C₁是 F_p 上的负循环码， C₂是 F_p 上的循环码。 这些码也在[3,16]中被研究过。

我们现在将上述针对有限链环的结果推广到有限主理想环。

命题1. 设 n为正整数，且 λ= CRT(λ₁, …, λₖ)与 δ=CRT(δ₁, …, δₖ)为单位元， 满足 λ= δⁿ。则映射 μ定义为
μ: R[x]/〈xⁿ −1〉 −→ R[x]/〈xⁿ − λ〉
c(x) → μ(c(x))=(c(δ⁻¹₁ x),…, c(δ⁻¹ₖ x)), (6)
是一个环同构。

证明。 由于 R[x]/〈xⁿ −1〉 ≅ Πₖᵢ₌₁Rᵢ[x]/〈xⁿ −1〉，根据引理2可得λ= δⁿ ⇐⇒ λᵢ= δᵢⁿ， ∀i ∈{1,…, k}。然后由推论1， Πₖᵢ₌₁Rᵢ[x]/〈xⁿ −1〉 ≅ Πₖᵢ₌₁Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉 ∀i ∈{1,…, k}， 因此 R[x]/〈xⁿ − λ〉 ≅ Πₖᵢ₌₁Rᵢ[x]/〈xⁿ −λᵢ〉。 ∎

如果(n,qᵢ)= 1对所有 i ∈{1,…, k}成立，其中 F_{qᵢ}是有限链环的剩余域 Rᵢ， 那么 Rᵢ[x]/〈xⁿ − λᵢ〉是一个主理想环。因此，R[x]/〈xⁿ − λ〉中的理想都是主 理想，所以以下结果是推论1的直接推论。

推论3 设 R为有限主理想环，且 λ、 δ为 R中的单位元，满足 λ= δⁿ。子集 I在 R[x]中是 R[x]/〈xⁿ −1〉的理想当且仅当 μ(I)是 R[x]/〈xⁿ−λ〉中的理想。等价地，该子集是长度为n、 定义在 R上的循环码 C当且仅当 μ(C)是长度为 n、定义在 R上的 λ-常循环码。

例2. 设 R= F_p[x]/〈v² −v〉 ≅ F_p+ vF_p和 n为奇数。由命题1可知，任意定义 在 R上的(1 − 2v)-常循环码均同构于 R上的一个循环码。 这些码也在[3,16]中被研究过。

4 有限主理想环上的自对偶循环码

由于任何有限主理想环都是有限链环的直积，我们首先给出关于后者的若干结果。

4.1 有限链环上的循环自对偶码

这里我们考虑有限链环上的循环自对偶码。对于一个次数为 r的多项式 f(x)， 令 f∗(x)表示其倒数多项式 xʳ f(x⁻¹)。以下引理容易得到。

引理3。 设 f(x)和 g(x)是 R[x]中的多项式，满足deg f(x) ≥deg g(x)，且常数项为 单位元。则以下成立。
(i) [f(x)g(x)]∗= f(x)∗ g(x)∗。
(i) [f(x) + g(x)]∗= f∗(x) + xᵈᵉᵍᶠ⁻ᵈᵉᵍᵍ g∗(x)。
(ii) 若 f(x)是首一的，则 f∗(x) = f(x)∗。

以下定理给出了有限链环上循环码的对偶结构。

定理3. ([6,定理3.8]) 设 R是一个特征为p、极大理想为 γ、幂零指数为 e的有限链环。设 n是一个整数，使得(p, n) = 1，并且 f₁f₂… fₗ是 xⁿ − 1在 R[x] 中分解为基本不可约两两互素多项式的表示。如果 C是 R上的一个长度为n的 循环码，则 C⊥= 〈ˆF∗₀, γˆF∗ₑ, …, γᵉ⁻¹ˆF∗₂〉，其中 F₀, F₁, …, Fₑ₋₁是两两互素 的多项式，且如定理1所述，它们是 xⁿ −1的因式。

定理4. ([6,定理4.3]). 设 R是一个具有偶数幂零指数 e和极大理想 γ的有限链环。 则在 R上存在非平凡自对偶循环码当且仅当存在xⁿ −1的一个基本不可约因子 f(x) ∈ R[x]，使得 f(x)与 f∗(x)不相伴。

以下定理最初由Kanwar和López-Permouth[11]给出，后来由Dinh和López-Permouth [6],再次提出，但其证明是错误的，因此本文给出了一个新的证明。在[6,11],中曾指出，为了使得对于正整数 i有(pʳ)ⁱ ≡ −1mod n，模 n的所有分圆陪集必须是不可逆的。然而，实际上只需要包含1的分圆陪集 C₁是不可逆的 即可。用 Cᵢ表示模n且包含 i的分圆陪集。首先，我们给出一个将在证明该定理时 使用的引理。

引理4。
If C₁ is reversible then Cⱼ is reversible ∀j ∈ ℤₙ.

证明. 如果 C₁ 是可逆的，则存在一个 k, 1 ≤ k ≤ ordₙ(q)，使得qᵏ ≡ −1 mod n。 这意味着 jqᵏ ≡ −j mod n，因此 Cⱼ= C₋ⱼ。∎

定理5. 设 R 是一个具有极大理想 γ、偶数幂零指数 e和剩余域 K 的有限链 环，其中 |R| = pᵉʳ 和 |K| = pʳ。则在 R 上存在长度为 n 的非平凡循环自 对偶码当且仅当 (pʳ)ⁱ ≠ −1mod n 对所有正整数 i 成立。

证明。 设 f(x) 是一个整除 xⁿ −1 的首一基本不可约多项式。则 f(x) 是 K= F_{pʳ}[x] 上的一个极小不可约多项式。因此存在一个与 f(x) 相关的分圆陪集 Cᵤ ，从而有 f(x) =∏ᵢ∈Cᵤ (x−αᵢ)，其中 α 是一个本原 n 次单位根。f(x) 的互反多项式是多项式 f(x)∗ =(∏ᵢ∈Cᵤ (x−αᵢ))∗= xʳ∏ᵢ∈Cᵤ (x⁻¹−αᵢ) = ∏ᵢ∈Cₙ₋ᵤ (x−αᵢ)。由引理3可知， f∗(x) = f(x)∗。然后根据定理3和定理4，非平 凡循环自对偶码存在的充要条件是存在一个整除 xⁿ − 1 的基本不可约多项式 f(x)，使得 f(x) 和 f∗(x) 不相伴。我们证明这种情况发生当且仅当 (pʳ)ⁱ ≠ −1mod n 对所有正整数 i成立。
设x不可约且 f(x)|(xⁿ −1)。则 f(x) =∏ᵢ ∈ Cᵤ (x−αᵢ)，其中 Cᵤ是包含 u 的 n的分圆陪集（且 u为其等价类中的最小元素）， α是一个本原 n次单位 元。现在若对所有正整数 i都有(pʳ)ⁱ ≠−1mod n，则 C₁ ≠ C₋₁。因此 f(x) ≠ f∗(x)，其中 ¯ f(x) = ∏ᵢ ∈ C₁ (x − αᵢ)，且码(f(x)g(x) γ^{e/2} f(x)f∗(x))是非平凡的 自对偶码，其中 f(x)f∗(x)g(x) = xⁿ −1。反之，若存在非平凡循环自对偶码， 则根据定理4，存在因子 f(x)|(xⁿ −1) 使得 ¯f(x) ≠ f∗(x)。因此 Cᵤ ≠ C₋ᵤ， 然后由引理 4 C₁ ≠ C₋₁ 可得，其中 f(x) =∏ᵢ∈Cᵤ(x − αᵢ)。故对于所有正整 数 i，有 (pʳ)ⁱ ≠ −1 mod n 成立，否则对于所有分圆陪集都有 Cᵤ= C₋ᵤ， 从而对任意f(x)|(xⁿ −1) 都有 f(x) = f∗(x)。∎

引理5. 设 n和 s为正整数， q为素数幂。则以下成立。
(i) 如果 qˢ ≡ −1 mod n，则 ordₙ(q)为偶数。
(ii) 如果 n是素数，则ordₙ(q)为偶数当且仅当存在一个 i使得qⁱ ≡ −1 mod n。

证明. 第(i)部分容易验证。对于第(ii)部分，假设ordₙ(q) = 2w为偶数，因此 q²ʷ ≡ 1模 n，从而有 n|(qʷ − 1)(qʷ+ 1)。由于 n是素数且不能整除 qʷ −1 （因为阶的关系），我们得到 qʷ= −1模 n。逆命题由第(i)部分得出。∎

以下结果通过提供循环自对偶码存在的一个简单判据，回答了[6,第 1734]页提出的问题。

定理6. 设 R是一个极大理想为 γ、幂零指数为偶数 e且|R| = pᵉʳ其中 |K| = pʳ 的有限链环。如果 n是奇素数幂，则在 R上存在长度为 n的非平凡循环自对 偶码当且仅当ordₙ(pʳ)为奇数。

证明。 如果没有非平凡的自对偶码，则根据定理5存在一个整数 i使得 (pʳ)ⁱ ≡ −1模 n。然后根据引理5的第(i)部分，我们有 ordₙ(pʳ) 是偶数。
反之，假设存在一个非平凡循环自对偶码。那么由定理5可知，不存在整数 i使得 pʳⁱ ≡ −1模 n成立。我们需要证明在此情况下， ordₙ（pʳ）为奇数。为此，考虑以下几种情 况。
（i）如果 n是奇素数，则根据引理5的（ii）部分，我们有 ordₙ（pʳ）为 奇数。
（ii）对于n= q^α，假设 ord_{q^α}（pʳ）为偶数。我们首先证明该蕴含关系
ord_{q^α}(pʳ) is even ⇒ ord_q(pʳ) is even.
如果ord_{q^α}(pʳ)是偶数且 ord_q(pʳ)是奇数，则存在奇数 i> 0使得pʳⁱ ≡ 1 mod q ⇔ pʳⁱ= 1+ kq。因此 pʳⁱq^{α −1} =(1+ kq)^{q^α −1} ≡ 1 mod q^α，因为(1+ kq)^{q^α −1} ≡ 1+ kq^α mod q^(α+1)，所以
pʳⁱq^{α − 1} ≡ 1 mod q^α. (7)
如果 i为奇数且q^{α−1}为奇数，则 ord_{q^α}(pʳ) 为奇数（因为 ord_{q^α}(pʳ)|iq^{α−1}）， 这导致矛盾。因此 ord_q(pʳ) 为偶数，故存在某个整数j使得 0< j< ord_q (pʳ)，且 pʳʲ ≡ −1模 q。然后由(7)可得 pʳʲq^{α − 1} ≡ −1模 q^α。这意味着分 圆陪集 C₁是可逆的，而根据定理5这是不可能的。∎

注释1. 如果 n不是素数幂，则条件 ordₙ(pʳ)为奇数是存在长度为 n、定义在 R上 的自对偶码的充分条件。

在本文的其余部分，符号 q= mod n表示 q是模 n的二次剩余。

推论 4[2,推论4.8]. 设 R是一个具有极大理想γ、偶数幂零指数 e和剩余域 K的有限链环，且满足 |K| = pʳ。若奇整数 n的素因数分解为 p₁… pₛ mod pᵢ， 且对每个 1 ≤ i ≤ s mod 4成立，则在 R上存在一个长度为 n的非平凡循环自 对偶码。

推论 5[2,推论4.9]. 根据前述记号，若 n是满足 n ≡ −1mod 4的奇素数，则 存在循环自对偶码当且仅当 p= mod n。

对于长度为 n且(n,p) = 1的循环码，我们有以下关于自由码的结果。我 们将在下一节中将这些结果推广到有限主理想环上。

定理7 ([9,定理4.20]). 设 C是特征为 p的有限链环 R上的长度为 n的循环码，且满 足(p, n)= 1。则 C是秩为 k的自由循环码当且仅当存在一个多项式 f(x) ∈ R[x]，使 得f(x)|(xⁿ −1)且 f(x)生成 C。在这种情况下，我们有 k= n − deg(f(x))。

定理8 ([2,定理4.13]). 设 R是一个极大理想为 〈γ〉、幂零指数为 e、特征为 p的有 限链环。则如果 p为奇数且(p, n)=1，在 R上不存在长度为 n的自由循环自对偶码。

4.2 有限主理想环上的自对偶循环码

设 R是一个有限主理想环，且(Rᵢ)ₖᵢ₌₁是R的一个直分解。进一步，设 Ψ： Rⁿ →∏ₖᵢ₌₁ Rᵢⁿ
码。
C= CRT(C₁, C₂,…, Cₖ)= Ψ⁻¹ (C₁ × ··· × Cₖ)={Ψ⁻¹ (v₁, v₂,…, vₖ); vᵢ ∈ Cᵢ}.

定理9. 根据上述记号，我们有以下结论。
(i) C是循环码当且仅当每个 Cᵢ是循环码。
(ii)C₁, C₂, …, Cₖ是自对偶 码当且仅当 C是自对偶码。

证明。 部分(i)是定理2的一个特例，而部分(ii)由以下恒等式得出：
CRT(C₁, C₂,…, Cₖ)⊥= CRT(C⊥₁ , C⊥₂ ,…, C⊥ₖ).

定理9的结果使我们能够将有限链环上的一些结果推广到有限主理想环，如下一个 结果所示：

定理10. 设R ≅∏ₖᵢ₌₁ R/mᵗⁱᵢ=∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ为有限主理想环，F_{qᵢ}为 Rᵢ的剩余域， 1 ≤ i ≤ k， n为奇素数幂，且 C为 R上的长度为 n的循环码。则 C是自对 偶码当且仅当 ordₙ(qᵢ)对 1 ≤ i ≤ k为奇数。

证明。 设 n为奇素数的幂，使得(n,qᵢ) = 1且 C=CRT(C₁, C₂, …, Cₖ) 是 R上的一个自对偶循环码。则由定理9可知，对所有 1 ≤ i ≤ k，Cᵢ是 Rᵢ上 的自对偶循环码，且由定理 6 ordₙ(qᵢ)为奇数。另一方面，若 ordₙ(qᵢ)为奇数， 则对所有 1 ≤ i ≤ k，存在 Rᵢ上的自对偶循环码 Cᵢ。于是由定理2，循环码 C= CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)是 R上的自对偶循环码。∎

我们现在将推论4推广到有限主理想环。

推论6. 设R ≅ ∏ₖᵢ₌₁ R/mᵗⁱᵢ= ∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ为一个有限主理想环，F_{qᵢ}为 Rᵢ的剩余域， 且 n是一个整数，使得(n, qᵢ)= 1对 1 ≤ i ≤ k成立。若 p₁… pₛ是一个奇数 n 的素因数分解，且满足 qᵢ= mod pⱼ以及 pⱼ ≡ −1mod 4对 1 ≤ j ≤ s成立， 则在 R上存在一个长度为 n的非平凡循环自对偶码。

证明. 设 n= p₁… pₛ满足 qᵢ= mod pⱼ，且 pⱼ ≡ −1 mod 4对1 ≤ j ≤ s成 立。根据推论4，在Rᵢ上存在一个非平凡循环自对偶码 Cᵢ。然后由定理 2可知， 循环码 C= CRT(C₁, C₂,…, Cₖ) 是 R上的一个自对偶码。∎

接下来，我们将推论5推广到有限主理想环。

推论7. 在前述记号下，若 n是一个奇素数且 n ≡−1mod 4，则在 R上存在一 个循环自对偶码当且仅当 pⱼ= mod n，其中 qⱼ= pʳⱼ。

证明. 设 n是一个满足 n ≡ −1 mod 4的奇素数。如果pⱼ= mod n，那么根 据推论5，存在一个长度为 n、定义在 Rⱼ上的自对偶循环码 Cⱼ。因此，由定 理2可知，循环码 C= CRT(C₁, C₂,…, Cₖ) 是 R上的一个自对偶循环码。∎

接下来，我们将定理8推广到有限主理想环。

定理11. 设R ≅ ∏ₖᵢ₌₁ R/mᵗⁱᵢ = ∏ₖᵢ₌₁ Rᵢ是一个有限主理想环， F_{qᵢ} 是 Rᵢ的剩余域， n是 一个整数使得(n, qᵢ)= 1对所有 1 ≤ i ≤ k成立，且C= CRT(C₁, C₂, …, Cₖ)是定义在 R上的一个循环码。如果存在 i ∈{1,…, k}使得 qᵢ为奇数且 Cᵢ是自由的，则 C不是 自对偶的。

证明。 设 C= CRT(C₁ , C₂ ,…, Cₖ) 是长度为 n在 R上的循环码，使得 (n, qᵢ) = 1对所有 1 ≤ i ≤ k成立。则根据定理 8，若 qᵢ为奇数且 Cᵢ是自由的，则 Cᵢ不能是自对偶的，因此根据定理 2 C不能是长度为 n在 R上的自对偶循环码。∎

4.3 具有奇数稳定性指数的有限主理想环上的循环码

在本节中，我们证明了当极大理想的生成元的幂零指数为奇数时，有限链环上 不存在单根循环自对偶码。当其中一个极大理想的生成元的稳定性指数为奇数 时，该结果被推广到有限主理想环上。

定理12。 设 R是一个有限链环，其中 〈γ〉是具有幂零指数 e的极大理想。如果 e为奇数 且 q是素数幂，则在 R上不存在长度为 n的非平凡自对偶循环码，使得(n, q)= 1。

证明。 如果q= 2ᵏ，则(n, q) = 1 ，因此 n必须是奇数。设 C是长度为 n 、定义在 R上的非平凡循环码，于是存在首一且互素的多项式 F₀, F₁, …, Fₑ₋₁, Fₑ，使得 xⁿ − 1= F₀F₁… Fₑ₋₁Fₑ且 C=〈 ˆF₁, γˆF₂, …, γᵉ⁻¹ ˆFₑ〉。如果 C是自对偶的，则由 [6,命题4.1] Fᵢ可知，对于 i, j ∈{0, 1,… e}和 i+ j ≡ 1 mod (e+ 1)， Fⱼ与之相伴。于 是对于所有 i, j ∈{0,…, e}, i+j ≡ 1 mod (e+1)，有 Fᵢ= εF∗ⱼ成立，且 ε是 R中的单 位元。由于e是奇数，故 Fᵢ ≠ F∗ⱼ，因此不可能有 i+ i ≡ e+ 2，从而 xⁿ −1= F₀F∗₀ F₂F∗₂ F₃F∗₃… F_{(e+1)/2} F∗ {(e+1)/2}。 因此，Fᵢ中没有一个是自倒数的。多项式(x − 1)是xⁿ−1的一个因子，因此存在 一个 0 ≤ i₀ ≤ e，使得对于某个多项式g(x)，有 Fᵢ₀=(x−1)g(x)。故 F∗ᵢ₀=(x −1)∗g(x)∗=(x −1)g(x)∗= F {1−i₀ mod(1+e)}, 这是不可能的，因为对于所有 0 ≤ i ≤ e，Fᵢ互素，且 xⁿ −1没有重根，因为(n, q) = 1。∎

定理13. 设R ≅∏ₖᵢ₌₁ R/mᵗⁱᵢ是一个有限主理想环， C是 R上的一个循环码。那 么如果其中一个 tᵢ是奇数，则 C不能是自对偶码。

证明。 根据定理2， C是循环且自对偶的当且仅当Cᵢ， 1 ≤ i ≤ k也是循环且自对 偶的。然而由定理12可知，若存在一个 i使得tᵢ为奇数，则 Cᵢ不能是自对偶的。∎

5 R+ vR上的常循环码

设 R是一个具有极大理想 〈γ〉、幂零指数 e和剩余域 F_q 的有限交换链环。进一步， 设 R+vR={a+vb： a, b ∈ R}，其中 v²= v。该环是有限交换主理想环的一个例 子，并具有两个互素理想 〈v〉={av： a ∈ R}和 〈1−v〉={a(1−v)： a ∈ R}，其 稳定性指数为1。 R₁= R/〈v〉和 R₂= R/〈1 − v〉均与 R同构。由中国剩余定理可 知， R+vR ≅ R₁×R₂ ≅ 〈v〉⊕〈1−v〉。考虑将此环作为具体示例的动机在于元素 v 且 1−v是满足 v+1−v= 1的幂零元，因此根据[7,命题2.4],， R+ vR上模 M的任意 子模 N可表示为N₁⊕N₂的直分解，其中 N₁= vN且 N₂=(1−v)N。特别地，对于正整 数n，有(R+ vR)ⁿ= v(R+ vR)ⁿ ⊕(1 − v)(R+ vR)ⁿ。由于 R+ vR ≅ 〈v〉 ⊕〈1 − v〉，设 xᵢ ∈ R+ vR使得 xᵢ= aᵢv+ bᵢ(1 − v)， aᵢ， bᵢ ∈ R。然后 x=(x₁, x₂,…, xₙ)=(a₁v+b₁(1−v), a₂v+b₂(1−v),…, aₙv+bₙ(1−v)) ∈(R+vR)ⁿ, and x= v(a₁, a₂,…, aₙ)+(1 − v)(b₁, b₂,…, bₙ) ∈ vRⁿ ⊕(1 − v)Rⁿ, 使得(R+ vR)ⁿ= vRⁿ ⊕(1 − v)Rⁿ。

设 C是环 R+vR上长度为 n的码。由于 C是 R+ vR上的(R+vR)ⁿ的一个子模，使得 C= CRT(C₁, C₂)= Ψ⁻¹(C₁, C₂)={Ψ⁻¹(v₁, v₂) | v₁ ∈ C₁ v₂ ∈ C₂}, (8) 其中 C₁和 C₂是长度为 n、定义在 R上的码，且 v和 1−v为幂等元。由于 1+ 1−v= 1，因此 C= vC⊕(1−v)C ≅ C₁ × C₂，这表明 vC ≅ vC₁且 (1 − v)C ≅(1 − v)C₂。下一个结果则是定理2的特例。

定理14 设 λ= CRT(λ₁, λ₂)= λ₁v+ λ₂(1 − v)是 R+ vR 中的一个单位元， 使得 λ₁, λ₂ 是 R 中的单位。进一步设 C 是长度为 n 的关于R+ vR 的线性 码。则 C 是 λ-常循环码当且仅当 C₁ 是长度为 n 的关于 R 的 λ₁-常循环 码，且 C₂ 是长度为n的关于 R 的 λ₂-常循环码。

例3. 设 λ= 1 − 2v= −v+(1 − v)，使得 λ= CRT(−1, 1)。根据定理2， 任意(1−2v)-常循环码 C在 R+ vR上的中国积是一个负循环码 C₁在 R上 的循环码 C₂在 R上，满足 C=CRT(C₁, C₂)。 这些码在[12]中也得到了研究。

接下来，我们给出 R+ vR 上 constacyclic 码的生成多项式结构。

定理15. 设 R 是一个具有极大理想〈γ〉、幂零指数 e 和剩余域F_q 的有限交换链环。 进一步设 n 是一个正整数，使得(n, q) = 1，且 λ= λ₁v+ λ₂(1 − v) 是 R+ vR 中的一个单位元，使得λ₁、 λ₂ 是 R 中的单位元。如果 C= CRT(C₁, C₂) 是长 度为n 的 λ-常循环码，定义在 R+ vR 上，则存在多项式 f₁(x) f₂(x) ∈ R[x]， 使得 C=〈vf₁(x)，(1−v)f₂(x)〉，其中 C₁= 〈f₁(x)〉 ⊆ R[x]/〈xⁿ −λ₁〉 且 C₂= 〈f₂(x)〉 ⊆R[x]/〈xⁿ − λ₂〉。

证明。 由于(n, q) = 1，根据定理 1 R[x]/(xⁿ − λ₁)以及 R[x]/(xⁿ − λ₂)均为主 理想环，因此存在多项式 f₁(x) f₂(x) ∈ R[x]使得 C₁= 〈f₁(x)〉 ⊆ R[x]/〈xⁿ − λ₁〉 且 C₂= 〈f₂(x)〉 ⊆ R[x]/〈xⁿ − λ₂〉。对于任意 c(x) ∈ C，存在多项式 c₁(x) c₂(x) ∈ R[x]，使得 c(x) =vc₁(x)+(1−v)c₂(x)， 其中 c₁(x) ∈ C₁ 且 c₂(x) ∈ C₂。则存在多项式k₁(x) k₂(x) ∈ R[x]，使得 c₁(x)= k₁(x)f₁(x) mod(xⁿ − λ₁), c₂(x)= k₂(x)f₂(x) mod(xⁿ − λ₂). 因此，存在r₁(x) r₂(x) ∈ R[x]使得 c₁(x) = k₁(x)f₁(x)+r₁(x)(xⁿ−λ₁)且 c₂(x) = k₂(x)f₂(x) + r₂(x)(xⁿ −λ₂)。 由于 v(xⁿ−λ) = v(xⁿ−λ₁) 且(1−v)(xⁿ−λ) =(1−v)(xⁿ−λ₂)，我们得到 c(x)= vc₁(x)+(1 − v)c₂(x) = v(k₁(x)f₁(x)+ r₁(x)(xⁿ − λ₁))+(1 − v)(k₂(x)f₂(x)+ r₂(x)(xⁿ − λ₂)) = vk₁(x)f₁(x)+(1 − v)k₂(x)f₂(x)+(vr₁(x)+(1 − v)r₂(x))(xⁿ − λ). 因此， c(x) = vk₁(x)f₁(x) +(1 − v)k₂(x)f₂(x) mod (xⁿ − λ)，所以 c(x) 属于〈vf₁(x)， (1 − v)f₂(x)〉 ⊆(R+ vR)/〈xⁿ − λ〉。另一方面，对于任意d(x) ∈ 〈vf₁(x)，(1 − v)f₂(x)〉 ⊆(R+ vR)/〈xⁿ − λ〉，存在多项式k₁(x) k₂(x) ∈(R+ vR)[x]，使得 d(x)= k₁(x)f₁(x)v+ k₂(x)f₂(x)(1 − v) mod(xⁿ − λ). 那么存在 r₁(x) r₂(x) ∈ R[x]，使得 vk₁(x) = vr₁(x)且(1−v)k₂(x) =(1 − v)r₂(x)。 令 r(x) = vr₁(x) +(1 − v)r₂(x)以及 d(x)= vd₁(x)+(1 − v)d₂(x) = vf₁(x)r₁(x)+(1 − v)f₂(x)r₂(x)+ r(x)(xⁿ − λ), 使得 vd₁(x) = v(f₁(x)r₁(x)+ r₁(x)(xⁿ − λ₁)), (1 − v)d₂(x)=(1 − v)(f₂(x)r₂(x)+ r₂(x)(xⁿ − λ₂)). 这意味着d₁(x) ∈ 〈f₁(x)〉 ⊆ R[x]/〈xⁿ − λ₁〉且 d₂(x) ∈ 〈f₂(x)〉 ⊆R[x]/〈xⁿ − λ₂〉。因 此 d₁(x) ∈ C₁, d₂(x) ∈ C₂，以及 d(x) ∈ C，从而〈vf₁(x),(1 − v)f₂(x)〉 ⊆ C，使得 C= 〈vf₁(x),(1 − v)f₂(x)〉。∎

定理16 在上述假设下，设 C 是 R+vR 上的一个 λ-常循环码。则存在一个多项式 f(x) ∈(R+ vR)[x]，使得 C= 〈f(x)〉。

证明。 根据定理15，存在在 R+ vR 上的多项式 f₁(x) 和 f₂(x)，使得 C= 〈vf₁(x)，(1 − v)f₂(x)〉。令 f(x) = vf₁(x) +(1 − v)f₂(x)，则有〈f(x)〉 ⊆ C。我们得到 vf(x) = vf₁(x) (1 − v)f(x)=(1 − v)f₂(x), 因此 C= 〈f(x)〉。 ∎

6 结论

本文建立了有限主理想环上常循环码与循环码之间的同构关系。此外，还给出了有限主理想环上存在循环自对偶码的充分必要条件。