期末作业NP问题

8.3题

首先，易知STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的，因此属于NP。另外，很容易可以将SAT 归纳到STINGY SAT（将k 设为所有变量的总个数即可），所以可知STINGY SAT 为NP 完全问题。

8.8题

首先很显然，EXACT 4SAT 属于NP。现在通过将3SAT 归纳到EXACT 4SAT 来证明后者的NP 完全性。对于任意一个3SAT 实例，如果其中某个子句中包含了同一个文字多次，那么可以缩减为一次，如果同时包含了某个变量的肯定及否定，那么可以将这个变量去掉。然后，可以再在每个子句中可以添加一些没用的辅助变量，这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个。所以，将该3SAT 转化成了一个EXACT 4SAT 问题。

8.10题

a) 令图G 为一个环，环上的顶点数等于图H 的顶点数。那么若G 是H 的同构子图，则说明H 存在Rudrata 回路。于是知Rudrata 回路事实上是子图同构问题的一个特例。
b) 如果令g = V −1，即得到一条 Rudrata 路径。
c) 令 g 为子句的总数，即成SAT。
d) 令b=(a(a-1))/2，此时这a 个顶点两两相连，于是即成最大团问题。
e) 令b = 0，即成最大独立集问题。
f) 显然是最小顶点覆盖的一个推广。
g) Hint 中所描述的特例即是一个TSP。

8.20题

可以将顶点覆盖问题归约到支配集问题。若要在图G(V, E)中求得不大于b的一个顶点覆盖，可以先对图G 做一个预处理：对每条边(u,v)∈E ，添加一个辅助顶点w，及两条边(u,w)和(v,w)，如下图所示：

对每条边都这样处理后得到一个新图G'。容易看出，若原图G 中存在不大于b 的顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图G'的一个支配集。反过来，若新图G'中存在一个不大于b 的支配集，那么对这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G 的不大于b 的顶点覆盖。处理过程如下：设该支配集为D，对于每条边(u,v)及相应的辅助顶点w，若w∉D ，则不用做任何处理，若w∈D 且u,v∉D，那么可以在D中将w替换成u 或v，若w∈D 同时u∈D∨ v∈D，则直接将w从D中删掉即可。