Codechef October Challenge 2019 Division 1 solutions

最新推荐文章于 2021-05-30 05:45:31 发布

原创最新推荐文章于 2021-05-30 05:45:31 发布 · 398 阅读

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本文深入探讨了算法竞赛中的策略，包括如何快速识别和解决问题，如ChefandMaximumStarValue、ArrayModification、EvenEdges等，提供了高效的算法实现思路和时间复杂度分析。

Chef and Maximum Star Value

显然如果一个数后面有它的因数，那么它一定不可能是最大值。先从后往前枚举一遍把这些数去掉，再从前往后做一遍，每个数枚举它所有倍数统计即可。
因为每个数最多只会做一次，时间复杂度是 $O(TA_i\log A_i)$ 。

代码

Array Modification

考虑每次遍历对于每一对 $(a, b)$ 的影响：
$(a,b)\rightarrow (a~xor~b, a)\rightarrow (b,a~xor~b)\rightarrow (a,b)$
所以判下总共会有几次完全遍历 $0$ 到 $n - 1$ ，再把剩下的做一次就可以了。
要特判 $i = n - i - 1$ 的情况。
时间复杂度 $O (T N)$ 。

代码

Even Edges

对于 $k\geq4$ 的情况，如果某 $2$ 组点间有偶数条边，那么显然可以将它们合并。如果所有组之间都是奇数条边，那么任意选出 $4$ 组合并成 $1$ 组，这一组的边数也是偶数。
因此 $k\le 3$ 。
当 $m$ 为偶数时显然 $k$ 即为 $1$ 。
否则，若原图中有一个点度数为奇数，将它隔离后剩下的点的边数即为偶数，于是 $k = 2$ 。
而若原图中所有点度数都为偶数，那么无论怎么隔离出一组点，其与剩下的点间的边数一定是偶数，所以不可能 $2$ 组点内部的边数都为偶数。此时 $k = 3$ 。
至于 $k = 3$ 时求出一个合法的答案，只需要找出一条边 $(u, v)$ ， $u$ 、 $v$ 、剩下的点各成一组即可。

代码

Bacterial Reproduction

对于非叶子节点 $u$ ，它某个祖先 $v$ 在 $t_0$ 时刻的操作对它在 $t_1$ 产生影响的条件是 $t_1=t_0+d_u-d_v$ ，即 $t_1-d_u=t_0-d_v$ 。
如果 $u$ 是叶子节点，就变为 $t_1-d_u\geq t_0-d_v$ 。
那么离线之后遍历一遍树，记录下这些值就好了。
时间复杂度 $O (N + Q)$ 。

代码

Queries on Matrix

假设最终有 $r$ 行被加了奇数次， $c$ 列被加了奇数次，那么最终为奇数的格子数是 $r (m - c) + c (n - r)$ ，因此可以算出有哪些 $(r, c)$ 满足条件。
对于每对 $(r, c)$ ，显然可以分开计算行和列的方案数，最后再乘起来。
以行为例，问题转化为用 $1 - n$ 填 $Q$ 个位置，使得恰好有 $r$ 个数的出现次数为奇数。这个可以用生成函数做，答案即为
$({x\over 1!}+{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!}+...)^r(1+{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}+...)^{n-r}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
$({e^x-e^{-x}\over 2 })^r({e^x+e^{-x}\over 2 })^{n-r}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
$(\sum_{i=0}^re^{(2i-r)x}{(-1)^{r-i}}{r\choose i})(\sum_{j=0}^{n-r}e^{(2j-n+r)x}{n-r\choose j}){1\over {2^n}}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
先枚举 $i + j$ :
$(\sum_{s=0}^ne^{(2s-n)x}\sum_{i=0}^s{(-1)^{r-i}}{r\choose i}{n-r\choose s-i}){1\over {2^n}}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
设 $f(n,r,s)=\sum_{i=0}^s{(-1)^{r-i}}{r\choose i}{n-r\choose s-i}$
$(\sum_{s=0}^ne^{(2s-n)x}f(n,r,s)){1\over {2^n}}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
$(\sum_{s=0}^n\sum_{i=0}^{\infin} {(2s-n)^ix^i\over i!}f(n,r,s)){1\over {2^n}}{n\choose r}Q!~[x^Q]$
$(\sum_{s=0}^n(2s-n)^Qf(n,r,s)){1\over {2^n}}{n\choose r}$
现在的问题就是对每个 $n, r$ ，如何快速求出 $f (n, r, s)$ 对 $s = 0 . . . n$ 的值。
因为
$f(n,r,s)=(x-1)^r(x+1)^{n-r}~[x^s]$
可以先预处理出 $x-1)^k,(x+1)^k(k=0...n)$ ，然后对每个 $(n, r)$ NTT 乘一遍得到 $x-1)^r(x+1)^{n-r}$ ，于是就可以求出 $f (n, r, s)$ 对 $s = 0 . . . n$ 的值。
然后发现还是 T 了…
那么不妨再进一步，预处理出 $x-1)^k,(x+1)^k(k=0..n)$ 对在做 NTT 时每个可能的 $m=2^i$ 的 NTT 后的多项式，这样就可以在做每对 $(n, r)$ 时少做 $2$ 次 NTT 。
然后就卡过去了。
时间复杂度 $O(n^2\log^2 n+Tn^2\log n)$ 。

代码

Faulty System

挖坑