插板法（排列组合）

最新推荐文章于 2024-05-18 22:27:58 发布
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本文通过几个具体的实例，详细解析了插板法在解决组合问题中的应用，包括相同元素分配给不同组别且每组不能为空的情况，以及如何通过转换满足插板法的前提条件。
转自（http://www.cnblogs.com/justPassBy/p/4600772.html）
插板法的条件（）


（1）每个元素都是相同的


（2）分成的组，每组的元素不为空


就比如下面这个例子，分出来的组的元素是不为空的


 

原始问题：
将10个相同的球放到3个不同的篮子里面去，每个篮子至少一个，问有多少种放法


0-0-0-0-0-0-0-0-0-0     0代表球，-代表板子， 将9个板插入到10个球中， 我们只要从中选出2个板子， 自然而然就把球分成三堆了


即C(9,2)


 

变形1：
将10个相同的球放到3个不同的篮子里面去，每个篮子可以为空，问有多少种方法


因为每个篮子可以为空，即每组的元素可以为空， 不符合第二个条件。 我们可以事先在每个篮子里放一个球， 那么每个篮子就不为空了


那么就转为将13个相同的球放到3个不同的篮子里面去， 每个篮子至少有一个球


即C(12,2)


 

变形2：
将10个相同的篮子放到3个不同的篮子里面去，要求第一个篮子至少一个球， 第二个篮子至少3个球， 第三个篮子可以为空


可以将10个球中的三个放到第二个篮子里去，  然后再在第二个和第三个篮子里面放一个球


就转为了将9个球放到3个篮子里面去， 每个篮子至少一个球


即C(8,3)
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排列组合经典问题（捆绑法、插空法、插板法）
默的博客
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题目1：有 n 个小球，放入 m 个盒子，每个盒子里至少 1 个，求有多少种情况？ 解析： 我们可以把问题转化为：有 n 个小球，所以在小球之间有 n−1 个空隙我们可以把问题转化一下，有~n~个小球，所以在小球之间有~n-1~个空隙我们可以把问题转化一下，有 n 个小球，所以在小球之间有 n−1 个空隙 放入 m 个盒子，说明要把小球分成 m 份，所以需要在小球之间的空隙中插&nb.
[NOIP初赛复习]插空法与插板法解排列组合问题
不来也不去的一只失忆蝴蝶
10-10 2107
题目大意现有21本书顺序排成一列，挑选4本书使得任意两本书不相邻，有多少种方法？插板法我们可以插入四块挡板，然后每块挡板左边的书为选定的书。容易得到，四块挡板一共分成五个部分，如果每个部分都有至少2个，便不会有相邻的书。 可是，最前面和最后面会出现bug。 我们可以在最前面增加一个，最后面增加两个。由于每部分都至少要有两个，因此最前面的和最后面两个虚拟球的后面都不会有挡板，就证明了现在的每一种方
排列组合之插板法
hnjzsyjyj的专栏
08-11 2万+
【算法解析】 插板法的模型：m个相同的元素，分给n个不同的空间里，每个空间至少1个，有多少种方法？ “O”表示元素。“|”表示隔板“－”表示间隔，如果我要把10个元素分成3份。 只需在10－1＝9个间隔中挑选2个插入进去就可以隔开成3份。    O －O  | O －O －O －O －O  | O －O －O    O －O －O  | O －O －O －O －O  | O －O 不同的插入方式包含了排序，如第二组和第三组形成的分配为2-5-3和3-5-2。 插板法模型的可直接运用所需的条件有三个：(1)被
插板法
aiyuneng5167的博客
03-20 567
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1583148539639670534&wfr=spider&for=pc（文章原出处） 三道题，诠释“插板法”精髓。（核心是可以将求n个数和为m的方案数转化为m+n个物体分成n堆，每堆至少一个的问题，从而使用插板法） 【1】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分...
排列组合 ——插隔板
weixin_30545285的博客
05-09 439
排列组合 ——插隔板 I.n个相同小球分成m部分，每部分可以没有球。 在n+(m-1)个数中选择(m-1)次数作为隔板，其它的数作为小球。Count=C(n+m-1,m-1)。 II.n个相同的小球分成m部分，每部分至少有1个小球。 每个在相邻小球的中间，有n-1个隔板，从n-1个隔板中选取m-1个隔板，从而分成m部分。 Coun...
排列组合--插板法、插空法、捆绑法.doc
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本文将重点介绍排列组合中的几种特殊方法——插板法、插空法和捆绑法。它们在解决特定类型的问题时具有独特的优势，能够将复杂的问题简化，找到解决问题的捷径。 首先，我们来探讨插板法。插板法是一种用于解决元素...
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09-27
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信息学奥赛初赛-组合数学-排列组合相邻问题捆绑法
ya888g
05-18 717
同时，需要注意这个“大元素”内部元素的排列。1，2捆绑在一起，和3，4各1个数字,组成3个元素，进行全排列 A(3，3) = 3 * 2 * 1 =6。由于组成的5位数是偶数，所以末尾数字是0，2，4，而0不能在首位，2必须和1在一起所以要分类讨论。其中1和2捆绑在一起，看做一个元素，所以还剩3个元素(0,1和2,3)，安排到对应3个位置上。还剩3个位置，第1个位置比较特殊，不能放0，所以只能在3和4中选1个，C(2,1)=2。还剩下2个位置2和3，没用其他限制，放入剩余的2个数字 A(2,2)=2。
组合计数 插板法
Qianyri的博客
08-16 1551
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排列组合之插板法及变形
anqingpei4347的博客
02-15 1323
主要用于“相同元素”分到“不同容器”的排列组合。 【例1】 共有10本相同的书分到7个班里，每个班至少要分到一本书，问有几种不同分法？ 【解析】注意，这里面有个隐含的条件，根据常理，7个班肯定是不同的。如果是书柜，可能是相同的。 因为书是相同的，可以排成一排，分给7个班，也就是在这一排书中间插入6个板，把书分成7份即可。这排书共10本，中间有9个空，选6个空插板，所以有C(9,6)...
组合数学：插板法
wangqianqianya的博客
08-28 4331
问题引出：把10个球放进三个盒子，每个箱子至少一个有多少种分法？ 插板法 在n个元素的n-1个间隙间插入b个板子，这样就可以将元素分成b+1份了，每份至少1个元素。 所以这题答案为C(9,2) 例二：把10个球放进三个盒子有多少种分法？ C(n+m-1,m-1) 这里盒子可以为空,我们可以预先在3个盒子里都放一个球，则问题转化为将13个球放进3个盒子里，每个盒子至少一个有多少中放法...
排列组合之插板法实例
被一个OIER遗弃的一堆烂代码
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CSP2020-J：10个三好学生名额分配到7个班级，每个班级至少有一个名额，一共有 （）种不同的分配方案。 A.56 B.84 C.72 D.504 答案：B.84 解析： 首先我们确定方法，使用插板法 10个名额可以插入九个，7个班级插入6个板子就可以实现 即：C(69)=84C{6 \choose 9} = 84C(96​)=84 ...
隔板法（插板法）
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07-14 7772
转载自： 原文链接 理解隔板法【定义】【公式】【隔板应用】普通隔板法添元素隔板法添板插板法选板法分类插板逐步插板法 理解隔板法 【定义】 隔板法就是在nnn个元素间的（n−1）（n-1）（n−1）个空中插入kkk个板，可以把nnn个元素分成k+1k+1k+1组的方法。 应用隔板法必须满足3个条件： 　　 （1） 这nnn个元素必须互不相异； （2） 所分成的每一组至少分得1个元素； （3） 分成的组别彼此相异。 【公式】 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ Cn−1m−
分糖问题和插板法：10个相同糖果分给3个小朋友，有几种分法？
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01-19 9647
【1】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少一个，有多少种不同的分法？ 【2】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，有多少种不同的分法？ 【3】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，每个孩子至少2个，有多少种不同的分法？ 【4】、10个相同的糖果，分给3个孩子A、B、C，A至少一个，B至少2个，C可以没有，有多少种不同的分法？ 【答案】 【1】第一题是最为典型的插板法的题目。10个糖果排成一排，共形成9个空，我从这9个空里选两个，插入隔板，便把这10个糖果分成了三份，每份起码有
排列组合初赛详解
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n 封不同的信，编号分别是 1,2,3,4,5，现在要把这五封信放在编号 1,2,3,4,5 的信封中，要求信封的编号与信的编号不一样。例题：现有 $ n $ 完全相同的元素，要求将其分为 $ k $ 组，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？$ n + k $ 完全相同的元素，要求将其分为 $ k $ 组，每组至少有一个元素，一共有多少种分法？变式：现有 $ n $ 完全相同的元素，要求将其分为 $ k $ 组，一共有多少种分法？第二种情况，因为有一封信是正确的所以，只需将正确的和第。
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组合数： C
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为什么会想到用哈希表哈希表为什么用map本题map是用来存什么的map中的key和value用来存什么的。
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排列 组合 选择
最新发布
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<think>首先，用户的问题是：“我想理解排列、组合和选择的概念及其应用 请问排列与组合的基本原理及在数学和编程中的应用”。这是一个关于排列和组合的基本原理及其在数学和编程中应用的问题。 根据系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用 `$...$` 格式。 - 独立公式必须使用 `$$...$$` 格式并单独成段。 - LaTeX 语法必须正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 在回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如 `[^1]`。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题，尽量保证回答真实可靠。 用户提供了参考引用： - [^1]: 数学基础知识-排列与组合。描述了排列和组合的基本概念，以及一个实验例子。 - [^2]: 编程中的数学理论——排列数&组合数。解释了排列数和组合数的计算，并给出了例子。 - [^3]: 排列与组合。讨论了多重集合的组合问题，使用插板法。 我需要将这些引用整合到回答中，自然地添加引用标识。 回答结构： 1. **介绍排列和组合的基本概念**：使用引用[^1]来解释什么是排列和组合。 2. **基本原理和公式**：使用引用[^2]来介绍排列数和组合数的计算公式。 3. **应用在数学中**：讨论在数学问题中的应用，如概率、组合学等。 4. **应用在编程中**：讨论在编程中的应用，如算法设计、组合生成等，使用引用[^2]的例子。 5. **生成相关问题**：在回答末尾生成相关问题，以帮助用户深入学习。 关键点： - **排列 (Permutation)**：有序的选择。例如，从 n 个元素中选择 r 个，顺序不同则结果不同。公式：$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$。 - **组合 (Combination)**：无序的选择。顺序不同但元素相同则视为相同。公式：$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。 - **在编程中的应用**：如生成排列、组合的算法，在动态规划、搜索算法中的应用。 - **在数学中的应用**：如概率计算、组合优化、多重集合的组合（引用[^3]）。 使用中文回答。 逐步构建回答： 1. **开头**：介绍问题。 2. **解释基本概念**： - 排列：有序选择。例如，从盒子中取两个球的不同顺序。 - 组合：无序选择。例如，选择一组球，不考虑顺序。 引用[^1]：排列和组合是组合学的基本概念，排列关注顺序，组合关注选择。 3. **基本原理**： - 排列数公式：$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ - 组合数公式：$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ 引用[^2]：例如，A(5,3)=60。 4. **数学应用**： - 概率：计算事件发生的可能性。 - 组合问题：如多重集合的组合（引用[^3]），使用插板法解决方程 $x_1 + x_2 + \dots + x_k = r$ 的非负整数解个数。 5. **编程应用**： - 生成排列和组合的算法：如递归方法、迭代方法。 - 例子：快速排序（从示例中引用），但用户问题不直接相关；更相关的是组合生成。 - 实际代码：提供一个简单的Python函数来生成排列或组合。 引用[^2]：编程中的数学理论。 6. **总结**：强调重要性和应用。 7. **生成相关问题**：在末尾添加相关问题。 生成相关问题： - 类似于示例，但针对排列和组合。 - 例如： 1. 排列和组合在概率计算中的具体应用？ 2. 如何高效地在编程中生成所有组合？ 3. 排列和组合的区别在哪些实际场景中体现？ 确保回答真实可靠：基于标准数学知识。 添加引用标识： - 在解释概念时，自然地添加，如：“正如在引用[^1]中所述，排列是...” - 在讨论公式时，引用[^2]。 - 在多重集合时，引用[^3]。 最终回答结构： - 引言 - 基本概念 - 基本原理 - 数学应用 - 编程应用 - 总结 - 相关问题</think>### 排列与组合的基本原理及应用 排列和组合是组合数学的核心概念，用于计算不同选择方案的数量。它们在数学和编程中广泛应用，包括概率统计、算法设计和优化问题。下面我将逐步解释其基本原理，并结合实例说明应用场景。 #### 1. **基本概念** - **排列 (Permutation)**：指从 $n$ 个不同元素中**有序地**选择 $r$ 个元素（$r \leq n$）。顺序不同被视为不同结果。例如，从编号为 1,2,3,4 的四个球中依次取出两个球，所有可能的排列包括 (1,2)、(2,1) 等 12 种结果[^1]。 - **组合 (Combination)**：指从 $n$ 个不同元素中**无序地**选择 $r$ 个元素。顺序不同但元素相同被视为相同结果。例如，选择球的选择 {1,2} 和 {2,1} 被视为同一组合。 - **关键区别**：排列关注顺序，组合仅关注元素集合。例如，在密码学中，密码顺序影响安全性（排列）；在抽样中，样本组成更重要（组合）。 #### 2. **基本原理与公式** 排列和组合的计算基于阶乘（$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$），公式如下： - **排列数公式**： $$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ 表示从 $n$ 个元素选 $r$ 个的有序方案数。例如，$P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$[^2]。 - **组合数公式**： $$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ 表示从 $n$ 个元素选 $r$ 个的无序方案数。例如，$C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!} = 10$。 这些公式是组合数学的基础，能高效计算选择方案的总数。 #### 3. **数学中的应用** 在数学中，排列和组合用于解决计数问题和概率模型： - **概率计算**：例如，计算彩票中奖概率。假设从 49 个数字选 6 个，中奖组合数为 $C(49, 6)$，总方案数为 $C(49, 6)$，概率为 $\frac{1}{C(49, 6)}$。 - **多重集合组合**：当元素可重复时（如 $k$ 种类型对象无限供应），$r$ 组合的个数为 $C(r + k - 1, k - 1)$。这等价于求解方程 $x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r$ 的非负整数解个数，使用插板法证明[^3]。例如，分配 $r$ 个相同物品到 $k$ 个不同盒子，方案数为 $C(r + k - 1, k - 1)$。 - **组合恒等式**：如二项式定理 $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$，依赖组合数展开。 #### 4. **编程中的应用** 在编程中，排列和组合用于算法设计和优化： - **算法实现**：生成所有排列或组合是搜索算法（如回溯法）的基础。以下是 Python 生成组合的递归实现： ```python def generate_combinations(arr, r): if r == 0: return [[]] if len(arr) == 0: return [] # 选择当前元素或不选 with_first = [[arr[0]] + comb for comb in generate_combinations(arr[1:], r-1)] without_first = generate_combinations(arr[1:], r) return with_first + without_first # 示例：从 [1,2,3] 选 2 个组合 print(generate_combinations([1, 2, 3], 2)) # 输出: [[1,2], [1,3], [2,3]] ``` 此代码基于组合定义，递归地构建所有无序子集。 - **优化问题**：在动态规划中，组合数用于状态计算（如背包问题）。例如，计算从物品中选择子集满足重量约束的方案数。 - **性能关键**：实际应用中，常使用预计算或动态规划避免阶乘的重复计算，例如通过帕斯卡三角形求组合数[^2]。 - **实际场景**：在数据科学中，组合用于特征选择；在密码学中，排列用于密钥生成。 #### 总结 排列和组合是理解选择问题的数学工具，排列强调顺序（$P(n,r)$），组合强调集合（$C(n,r)$）。在数学中，它们支撑概率和计数理论；在编程中，它们是高效算法的基础。掌握这些概念能帮助解决从游戏设计到机器学习的广泛问题。
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