分解因数 递归

胡来的题目。

【题目描述】

给出一个正整数a，要求分解成若干个正整数的乘积，即a=a1×a2×a3×...×an，并且1<a1≤a2≤a3≤...≤an，问这样的分解的种数有多少。注意到a=a也是一种分解。

【输入】

第1行是测试数据的组数nn，后面跟着nn行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a(1<a<32768)。

【输出】

n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，指明满足要求的分解的种数。

【输入样例】

2
2
20

【输出样例】

1
4

 说实话，刚开始刷递归的题心里还真没谱，都不知如何下手，遇到题，当然主要是思路不清晰，陆续看了些动规递推递归的帖子，稍微有点数，但做到这题还是有点蒙，看了好一会答案的代码才稍微有点感觉。

下面是算个人对递归的总结吧，初入，比较浅，可以直接跳到代码后面开始对问题分析。

这题是我几天前做的，现在来写当时的疑惑可能记不太轻，这里总结下我对递归的看法吧，递归的思想在于对待问题，是一种自顶向下的解决思路，（也就是从f(n)来考虑问题然后往f(n-1)或者f(x)（x为每次递归需要求的值）去调用），与递推，动规相似都是将大问题，化成统一的子问题的解题模式去求解。

基于递归的特性（自己调用自己），我们在写递归时需注意要有推动/调用本身的函数（类似f(n-1))的存在的同时，（当然不可以含f(n)本身，这样就会无限调用下去）需有若干个临界条件。(这些要点仿佛很简单，但对于刚开始用递归来写解决问题的我时，就会忘，所以只有摔过跟头了，才能更加对问题对方法有更深刻的理解。)还有一点就是，得想清楚你所写的递归函数的作用，他是求什么，什么作用，返回值还是，直接输出。

关于上面递归函数中包含调用f(n)函数相同参数相同这样的情况，之所以会犯这样的错，主要还是，对思想的表述有问题，一般调用f(n)，类似Fibonacci,f(n)=f(n-1)+f(n-2)这样的表达都是想将结果的答案赋给一个值然后return出去，(这里看来就很矛盾，当时确实思路很不清晰啊），正确的做法直接return 出表达式的结果，或者返回内部声明的变量。(想想为什么不是全局的？————全局的变量的值会在每次递归调用时发生改变，这样多次调用全局变量的值会混。而局部变量的话，每次调用后，其值会随着函数压进函数栈中(是这样表达吗，第一次这样表达有点别扭）。

#include<iostream>
using namespace std;
int a;

int f(int m, int n) {
	for(int i = m; i <= n / i; ++i)
		if(n % i == 0){
			a++; 
			f(i, n/i);	
		}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
		a = 1;
		int x;
		cin >> x;
		f(2, x);
		cout << a << endl;
	}
}

开始想这道题时，想着是类似i = i~an, 通过i *f(j) == an,然后将所有f(j)的数量来总和，写完代码后发现可能碰巧对了样例，但怎么改发现于正解不符（所有我们始终需保持对自己写的学的东西负责和持怀疑的态度）。后来看了正解，发现，方法就已经错了。

正确方法应该是：i = 2~an,通过an%i ==0来判断i是不是an的因数，如果是，则由an/i作为参数进一步带入函数来判断直至an/i == i，(此时i为最后一个因数)。首先需知道f(m,n)的含义——求n中从m开始到n/m所有分解种数的和。而为什么每次只要满足上面的条件就算加一种情况呢？这不妨举个例子当n = 100时，2、50算一种情况，而50可以继续分为2、25，这就有了2、2、25，再继续分，且每次分都能成为其一种分解情况所以a++。

下面另一种写法，区别在于分解次数加一是在每种分解情况完成时进行的，加的顺序是从分解到的最小因子开始加起，如对n = 100时一次调用f(2, 50) ,然后f(2, 25) ，f(2, 5), f(5, 5) （每次调用到f(x, x)，相当于一种情况，后面变成f(x,1)然后直接a++)则先是递归到2 2 5 5 a++ 后，回溯到f(2, 25), 再是f(25, 25)时相当于2 2 25的情况然后a++ ，然后在回溯到f(2, 50) , f(50, 50)，a++,这样对i ~ n/i中的分解情况累加。

再对for循环中的循环条件进行分析，他不会出现对两个相同情况2 50 和 50 2重复a++， 当i = 50 时，调用f(50,2) (f(50, 100/2))时会直接不满足条件而退出。而还要设i<=n， 是为了保证在回溯过程中将f(25, 25) 这样的情况给加上。

而这种情况实现方法像上面提到的虽然不计算重复情况，但还是会执行判断，会更耗时。

#include<iostream>
using namespace std;
int a;

void f(int m, int n) {
    if(n == 1) {
        a++;
        return ;
    }
	else for(int i = m; i <= n; ++i)
		if(n % i == 0){
			f(i, n/i);	
		}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--){
		a = 0;
		int x;
		cin >> x;
		f(2, x);
		cout << a << endl;
	}
}

 而下面这种实现更是递归最典型的用法，是自顶向下的递归实现思路。从x开始向1递归，对1到x的每位进行判断（是否是其最大因子）累加次数的同时，加上下次递归的f(a, b-1)的情况，f(a, b)中若a%b == 0 则，进一步递归分解。否者对b-1进行判断。b减到1时结束返回0（可以想象一个质数只有第一次加一，后面b一直在减一，直到b == 1则返回0），而被分解的数a等于1，意味着上次调用时的因数刚好将其整除尽，算作一种情况返回1。

#include<iostream>
using namespace std;

int count(int a, int b) {
	if(a == 1)//when a == b then a/b == 1 then sum++
		return 1;
	if(b == 1)//border
		return 0;
	if(a % b == 0)
		return count(a/b, b) + count(a, b-1);//use f(a,b-1) to get cycle from n-1 to 2
	else
		count(a, b-1);
}
int main() {
	int n;
	cin >> n;
	while(n--) {
		int x;
		cin >> x;
		cout << count(x, x) << endl;
	}
}