关于走格子的问题

dfs: 所有可能的路径，是否存在某一条路径

bfs: 遍历图，最短路径

深度优先搜索利用了栈进行计算，而宽度优先搜索则利用了队列进行计算

1.简单版：从（0，0）走到(n,m)，只能往下或往右走，最短的路径。（这里最短路径的意思就是只会走m+n个空格）注意这里的矩阵大小是(m+1)*(n+1)

多少种走法：C(m+n,n)，或者用动态规划的方式求解。

记录路径：用dfs

typedef pair<int,int> v;
int m, n;
int cnt = 0;
#define M 100
#define N 100
int dx[2]={1,0};
int dy[2]={0,1};
bool vis[M][N];
void print(vector<v> res){
    for(int i =0 ; i < res.size(); i++){
        cout<<"("<<res[i].first<< ","<< res[i].second<<")";
    }
    cout<<endl;
}
void dfs(vector<v> res, int x, int y){
    if(x <0 || x>= m || y <0 || y >=n) return;
    if(vis[x][y] == true) return;
    if( x == m-1 && y == n-1){
        print(res);
        cnt++;
        return;
    }
   
    vis[x][y] = true;
    res.push_back(v(x,y));
    dfs(res,x+1,y);
    dfs(res,x,y+1);
    vis[x][y] = false;
}
int main(){
    
    cin >> m >> n;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    vector<v> res;
    dfs(res,0,0);
    cout<< "total:"<< cnt<<endl;
}

PS进阶：在如下8*6的矩阵中，请计算从A移动到B一共有多少走法？要求每次只能向上或向右移动一格，并且不能经过P。

首先从A到B总共有c(7+5,5)种走法，从A到P有c(3+3,3)种走法，从P到B有c(4+2,2)种走法。

所以不经过点P得走法共有c(12,5)-(c(6,3)*c(6,2))种，即492种，

2. 走迷宫，可以走两个方向。

3.复杂版走迷宫，中间有些不能走，四个方向都可以走。

参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_37703898/article/details/78445787

多少种？ 动态规划，对于不能走的地方直接置0。

记录所有路径：dfs

输出最短路径的长度

typedef pair<int,int> v;
queue<v> q;
#define N 3
#define M 3
char a[M][N];
int b[M][N];
bool vis[M][N];
int dx[4] = {-1,1,0,0};
int dy[4]= {0,0,1,-1};
int bfs(int m, int n){
    q.push(v(m,n));
    b[m][n] = 0;
    while(!q.empty()){
        v cur = q.front();
        q.pop();
        if(cur.first == M && cur.second == N){
            break;
        }
        for(int i =0 ; i < 4; i++){
            int x = cur.first + dx[i];
            int y = cur.second + dy[i];
            if(x >=0 && x < M && y >=0 && y < N && a[x][y] != '#' && vis[x][y] != true){
                // b[][]记录的是该坐标上的路径长度；如果是记录路径，则存储的是上一个路径坐标。具体见下一段代码
                b[x][y] = b[cur.first][cur.second] +1; 
                q.push(v(x,y));
                vis[x][y]  = true;
            }
        }
    }
    return b[M-1][N-1];
}
int main(){
    for(int i = 0 ; i < N; i++){
        for(int j = 0; j < N; j++){
            cin>> a[i][j];
        }
    }
    cout<< bfs(0,0);
    
}

记录最短路径：

• 利用bfs走迷宫，创建两个数组vis[][]和b[][]，一个记录当前点是否访问过，另一个记录当前访问点的前一个点是哪个；然后回溯最短路径的点。只要搜索一次，第一次搜索到的结果就是最短的

typedef pair<int,int> v;
queue<v> q;
#define N 3
#define M 3
char a[M][N];
v b[M][N];
bool vis[M][N];
int dx[4] = {-1,1,0,0};
int dy[4]= {0,0,1,-1};
void bfs(int m, int n){
    q.push(v(m,n));
    b[m][n] = v(m,n);
    while(!q.empty()){
        v cur = q.front();
        q.pop();
        if(cur.first == M && cur.second == N){
            break;
        }
        for(int i =0 ; i < 4; i++){
            int x = cur.first + dx[i];
            int y = cur.second + dy[i];
            if(x >=0 && x < M && y >=0 && y < N && a[x][y] != '#' && vis[x][y] != true){
                b[x][y] = cur;
                cout<< x<<y<<"("<<cur.first << "," << cur.second << ")"  << endl;
                q.push(v(x,y));
                vis[x][y]  = true;
            }
        }
    }
}
int main(){
    for(int i = 0 ; i < N; i++){
        for(int j = 0; j < N; j++){
            cin>> a[i][j];
        }
    }
    bfs(0,0);
    int x = M-1, y  =N-1;
    stack<v> s;
    while(1){
        s.push(v(x,y));
        if(x == 0 && y == 0) break;
        int mx = b[x][y].first;
        int my = b[x][y].second;
        x = mx;
        y = my;
    }
 
    while(!s.empty()){
        cout<< "("<<s.top().first << "," << s.top().second << ")" ;
        s.pop();
    }
    return 0;
    
}

• 利用dfs，主要思想是通过回溯搜索出所有的结果，然后比较得到最小的。但是这种方法比较耗时。

4.复杂版 走迷宫，中间有些不能走，四个方向都可以走，求是否存在一条唯一的路径，达到终点。

这个可以利用回溯法，用一个矩阵来记录当前这个点是否可达。