3D图形数学基础（二）向量

向量运算

1. 向量的模（向量大小）

公式

向量的模一般公式：
$$|\stackrel{\rightharpoonup }{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{v}_i^2}$$
对于二维和三维向量，公式分别为：
$$|\stackrel{\rightharpoonup }{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
$$|\stackrel{\rightharpoonup }{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$

几何应用

求两点间的距离：

$$a点的坐标若为向量，可表示原点到a点的向量；b亦同。则可知a点到b的向量\stackrel{\rightharpoonup }{b}-\stackrel{\rightharpoonup }{a},|\stackrel{\rightharpoonup }{b}-\stackrel{\rightharpoonup }{a}|则为a点到b点的距离。$$
距离公式为：
$$Distance(a,b)=|\stackrel{\rightharpoonup }{ab}|=|\stackrel{\rightharpoonup }{b}-\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=\sqrt{(b_x-a_x{)}^2+(b_y-a_y{)}^2}$$

2. 标量与向量的乘法

公式

$$k\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}k{a}_1\\ k{a}_2\\ ...\\ k{a}_n\end{array}\right]$$

几何解释

若k>0，表示该向量在原来的方向上缩放向量的长度；若k<0，则表示该向量在相反方向上缩放该向量的长度。

3. 单位向量

单位向量是模为1的向量，一般用来表示向量的方向。一个向量除以该向量的模，可以得到该向量的单位向量。
$${\stackrel{\rightharpoonup }{v}}_{norm}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{|\stackrel{\rightharpoonup }{v}|},\stackrel{\rightharpoonup }{v}\ne 0$$
零向量没有方向，不能被标准化，在数学上不允许，几何上也没有意义。

4. 向量加减法

公式

$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]=[\begin{array}{c}\\ a_1+b_1\end{array}$$