LintCode 110. 最小路径和

本文介绍了一种求解网格中最小路径和的高效算法。该算法通过动态规划思想,逐列推进计算每一点到达终点的最短路径。文章详细解释了算法思路,并给出了具体实现代码。

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思路:

通过第一列初始化0~m-1行, 每一轮推进一列.

e.g. distance[i]开始时保存通过第0列至第i行的最小距离

对于distance[0],要得到第j轮的distance[0],只有其左边位置向右一步这一种方式,即:

distance[0] += grid[0][j];

对于其他distance[i],要得到第j轮的distance[i],可通过从上向下走一步或从左向右走一步走至,即:

distance[i] = min(distance[i-1], distance[i]) + grid[i][j];

注:由于是从上往下层层计算,故算至distance[i]时, distance[i-1]已经算过了,即到grid[i-1][j]的最小距离(句中表示从上至下走↓)

min()中的distance[i], 表示的是指grid[i][j-1]的最小距离(句中表示从左至右走→)

图示:

代码:

class Solution {
public:
    /**
     * @param grid: a list of lists of integers.
     * @return: An integer, minimizes the sum of all numbers along its path
     */
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) {
        // write your code here
        if(grid.empty())
            return 0;
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        // --begin
        vector<int> distance(m, grid[0][0]);
        for(int i = 1;i < m; ++i)
            distance[i] = distance[i - 1] + grid[i][0];
        // --end  distance[i]是经第0列到grid[i][0]的最小值
        for(int j = 1; j < n; ++j){
            distance[0] += grid[0][j];
            for(int i = 1; i < m; ++i){
                // 此时distance[i-1]已经计算过,刚好可以看成比较上和左
                distance[i] = min(distance[i - 1], distance[i]) + grid[i][j];
            }
        }
        return distance[m - 1];
    }
};
致谢: [LintCode]最小路径和

### LintCode 1582: Minimum Path Sum II 此问题的核心在于寻找从左上角到右下角的最小路径。该问题可以通过 **Dijkstra 算法** 来解决,因为本质上这是一个加权图上的单源最短路径问题[^4]。 #### Dijkstra 算法简介 为了高效解决问题,可以采用二叉堆优化版的 Dijkstra 算法。以下是具体实现方法: 1. 定义一个 `Pair` 类型的数据结构,用于存储当前坐标 `(x, y)` 到达该坐标的路径。 2. 使用一个小根堆(优先队列),按路径从小到大排列,并将起点 `(0, 0)` 的初始状态加入堆中。 3. 当堆不为空时,执行以下操作: - 取出堆顶元素(即当前路径最小的状态)。 - 如果取出的是目标点 `(m-1, n-1)`,则直接返回其路径作为结果。 - 否则,尝试向四个方向扩展(上下左右)。对于每个新位置,如果尚未计算过最优路径,则将其加入堆中。 4. 利用布尔矩阵或距离矩阵记录已处理过的节点,避免重复计算。 下面是基于 Python 实现的一个可能版本: ```python import heapq def minPathSumII(grid): m, n = len(grid), len(grid[0]) visited = [[False]*n for _ in range(m)] # Define Pair class to store position and current sum heap = [(grid[0][0], 0, 0)] # (sum, x, y) while heap: cur_sum, x, y = heapq.heappop(heap) if x == m-1 and y == n-1: return cur_sum if visited[x][y]: continue visited[x][y] = True directions = [(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)] for dx, dy in directions: nx, ny = x + dx, y + dy if 0<=nx<m and 0<=ny<n and not visited[nx][ny]: heapq.heappush(heap, (cur_sum + grid[nx][ny], nx, ny)) return -1 # If no path exists ``` 以上代码实现了带优先级队列的 Dijkstra 算法,能够有效求解二维网格中的最小路径问题[^4]。 --- #### 时间复杂度分析 假设输入网格大小为 \(m \times n\),那么时间复杂度主要由以下几个部分决定: - 堆的操作次数约为 \(O((mn)\log(mn))\)[^4]。 - 总体时间复杂度接近于 \(O((mn)\log(mn))\)。 空间复杂度方面,由于需要维护额外的距离矩阵堆数据结构,因此总体空间复杂度为 \(O(mn)\)。 ---
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