树的性质

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#树 #二叉树 #遍历

本文探讨了树的性质，包括树中结点数与度数的关系，度为m的树和m叉树的特性。重点讲解了二叉树的性质，如非空二叉树的叶子结点与度为2的结点之间的关系，以及高度和结点数的计算。此外，还介绍了满m叉树的结构特点和结点编号规则。最后，概述了二叉树的遍历方法，如先序、中序、后序和层序遍历，并分析了不同遍历序列对于唯一确定二叉树的重要性。

树的性质

  • 树中结点数等于所有结点的度数加1；
  • 度为m的树中第i层上至多有mi−1个结点；
  • 高度为h的m叉树至多有mh−1m−1；
  • 具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈logm(n(m−1)+1)⌉；
  • 总分支数就是所有结点的度数；

二叉树的性质

  • 非空二叉树上叶子结点数等于度为2的结点数加1， 即N0=N2+1；
  • 非空二叉树上第K层上至多有2k−1个结点；
  • 高度为H的二叉树至多有 2H−1个结点；
  • 具有N个结点的完全二叉树的高度为 ⌈log2(N+1)⌉或⌊log2N⌋+1 ；
  • 在含有n个结点的二叉链表中含有n+1个空链域；

满m叉树

  • 各层的结点个数是mn−1；
  • 编号为i的结点的双亲结点(若存在)的编号为 ⌊(i−2)/m⌋+1 ；
  • 结点i的第1个子女编号为j=(i−2)∗m+2；

二叉树的遍历

  • 先序序列和中序序列唯一确定一棵二叉树;
  • 后序序列和中序序列唯一确定一棵二叉树；
  • 层序序列和中序序列唯一确定一棵二叉树；
  • 只知道先序和后序序列无法确定一棵二叉树；
  • 先序序列，第一个结点是根结点；
  • 中序序列，根结点将中序序列分割成两个子序列，前半部分为根结点的左子树，后半部分为根结点的右子树；
  • 后序序列，最后一个结点是根结点；
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树是一种非常重要的结构.一提到树顾名思义就想到自然界的树,从根出来一个大树杆,然后就是分支,分支又有子分支,(分支的胳肢窝里可能有鸟窝),枝头最终点就长出叶子来(还有可能结出果,长出花来). 不过我们平常用树结构时都是树的倒序结构,就是根在上,分支和叶子在下面.这符合我们从简单到复杂,从少到多的习惯性认知思维. 我们平常看到的书的目录是树结构,windows上文件系统是以树形结构展示的.面向对...
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### 二叉排序树 (BST) 的基本性质及特点 #### 基本定义 二叉排序树（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树，其左子树上所有结点的值均小于它的根结点值；右子树上所有结点的值均大于它的根结点值[^1]。这种特性使得二叉排序树具有高效的查找性能。 #### 性质描述 以下是二叉排序树的主要性质： 1. **有序性** 对于任意一个节点 \(N\)，如果它有左子树，则左子树中的每一个节点都满足条件：\(key(LeftChild) < key(N)\)[^2]。同样地，对于右子树中的每一个节点也满足条件：\(key(RightChild) > key(N)\)。 2. **唯一路径** 在一棵二叉排序树中，从根到任何一个叶子节点只存在一条唯一的路径[^3]。这一特性决定了在执行插入或删除操作时不会出现歧义。 3. **动态调整能力** 随着新元素不断加入或者已有元素被移除，二叉排序树能够通过重新排列保持上述两条规则不变[^4]。 4. **高度影响效率** 虽然理论上平均情况下的时间复杂度接近 \(\log n\)，但如果连续插入已经按顺序排列的数据集可能导致退化成线性的链表形式，此时最坏情况下时间复杂度会达到 \(O(n)\)。 5. **支持多种操作** 包括但不限于构建、遍历、搜索、最小/大值定位以及前驱后继关系维护等功能都可以基于该结构高效完成。 #### 特点总结 - 查询效率较高，在理想状态下每次比较可以排除掉一半的可能性； - 插入和删除相对简单直观，只需找到合适位置即可； - 可能因初始数据分布不均匀而导致不平衡现象发生从而降低整体表现水平。 ```python class TreeNode: def __init__(self, value=0, left=None, right=None): self.value = value self.left = left self.right = right def insert_into_bst(root: TreeNode, val: int) -> TreeNode: if not root: return TreeNode(val) if val < root.value: root.left = insert_into_bst(root.left, val) elif val > root.value: root.right = insert_into_bst(root.right, val) return root ```
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