6、物质与热量输运：原理、方程及应用

物质与热量输运：原理、方程及应用

在流体流动和物质传输的研究中，Fick定律及其推广对于理解扩散和对流过程至关重要。当存在对流时，Fick定律需要进一步推广以考虑弥散现象。

1. 弥散现象

在流体通过均匀多孔介质流动时，Fick定律中的扩散系数并非恒定，而是与流速密切相关，这种现象被称为弥散。弥散是一种普遍现象，扩散可视为其特殊情况。

在一维情况下，有效弥散系数$D$可表示为：
$D = \tau D_{mol} + \alpha_L v$ (3.11)
其中，$\tau$为曲折度，$D_{mol}$为分子扩散系数，$\alpha_L$为纵向弥散度，$v$为流速。有效弥散系数由分子扩散和多孔介质流动两部分贡献组成。在高流速情况下，多孔介质流动的贡献占主导，这在地下水流动中较为常见。

在二维和三维情况下，需要引入横向弥散度$\alpha_T$，因为纵向和横向的混合常数不同。此时，弥散系数需用弥散张量$\mathbf{D}$表示：
$\mathbf{D} = \tau D_{mol} + \alpha_T v\mathbf{I} + (\alpha_L - \alpha_T)\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{v}$ (3.12)
其中，$\mathbf{I}$为单位矩阵，$\mathbf{v}\mathbf{v}^T$为速度向量的外积。弥散通量项可表示为：
$\mathbf{j} = -\mathbf{D}\nabla c$ (3.13)
横向弥散度通常小于纵向弥散度，甚至可能相差一到两个数量级。此外，纵向和横向弥散度还具有尺度依赖性，如图3.3所示。

2.