18、量子态的几何性质与维度影响

量子态的几何性质与维度影响

1. 二维投影与截面

为了更好地理解量子态集合的截面和投影，我们聚焦于二维情况。可以利用截面的对偶性来计算二维投影，也可以借助给定算子 $A$ 的数值范围 $W$ 来计算，数值范围 $W$ 是复平面的一个子集，定义为：
$W(A) = {z\in \mathbb{C} : z = Tr \rho A, \rho\in\mathcal{Q}_N}$

若矩阵 $A$ 是厄米矩阵，其数值范围会缩减为一个线段；否则，它是复平面的一个凸区域。改变 $A$ 的迹会使整个集合发生平移，所以我们可以将迹固定为 1，此时可表示为：
$A = \lambda I + u + iv$

其中 $u$ 和 $v$ 是无迹厄米矩阵。由此可知，任意 $N$ 阶矩阵 $A$ 的所有可能数值范围 $W(A)$ 与 $\mathcal{Q}_N$ 在二维平面上的正交投影集合仿射等价。因此，要理解 $\mathcal{Q}_N$ 在平面上的投影结构，只需分析任意 $N$ 阶算子的数值范围几何形状。

例如，对于 $N = 2$ 的矩阵 $A$，其数值范围形成一个椭圆盘，可能退化为一个区间，这就是布洛赫球 $\mathcal{Q}_2$ 在平面上的可能投影。对于 $N = 3$ 的矩阵 $A$，其数值范围的形状根据平坦边界部分的数量可分为以下四种情况：
| 情况 | 平坦边界部分数量 | 数值范围形状 |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0 | 严格凸，由椭圆界定或等于（不可约）六次空间曲线的凸包 |
| 2 | 1 | 四次空间曲线的凸包，如心脏线的凸包 |
| 3 | 2 |