16、量子共振与混合量子态的几何结构解析

量子共振与混合量子态的几何结构解析

1. 量子共振的谱理论方法

在研究量子系统的共振现象时，发现共振与哈密顿量 (H) 的本征值存在紧密联系。若 (A) 有本征值 (\zeta)，则对应此本征值的归一化本征向量 (f\in\mathcal{L}) 满足 ((f, e^{-itA}f) = e^{-it\zeta})。
为了研究共振，采用谱理论方法，将共振刻画为 (H_{ac}) 或 (e^{-itH}\upharpoonright\mathcal{F} {ac}) 合适扩展的广义本征值，借助 Gelfand 三元组或 Rigged Hilbert 空间（RHS）。
Bohm 和 Gadella 对 (e^{-itM^+}) 在 (\mathcal{H}^+) 上进行扩展，其推导从将问题从 (\mathbb{R}^+) 转移到 (\mathbb{R}) 开始，利用 (P^+\mathcal{H}^2 +\subset\mathcal{H}^+) 在 (\mathcal{H}^+) 中稠密这一事实。其中，(P^{\pm}) 是 (\mathcal{H}:= L^2(\mathbb{R}, \mathcal{K}, d\lambda)) 的投影，(\mathcal{H}^2_+) 是上半平面的 Hardy 空间，由 (\mathcal{H}^2_+ := FP^-\mathcal{H}) 给出，(F) 是傅里叶变换。
对于 (g\in P^+\mathcal{H}^2_+)，有 (e^{-itM}g = e^{-itM^+}g)，且 (0\leq t\to e^{+itM^+}) 是 (P^+\mathcal{H}^2_+) 上的半群。RHS 的 Gelfand 空间 (\